Question

4．如图所示，在xOy平面坐标系的第I象限内有沿x轴负方向的匀强电场，其场强大小为E=4×10⁵V/m，第 II象限有垂直平面向里的匀强磁场B．一个带正电粒子以速度大小．v₀=2×10⁷m/s从上A点沿y轴正方向射人电场，并从C点进人磁场．已知A点坐标为（0.2m，0），该粒子的比荷$\frac{q}{m}$=2.5×10⁹C/kg，不计粒子的重力．
（l）求C点的坐标；
（2）求粒子刚进入磁场时的速度；
（3）若要使粒子不能进入第 III象限，求磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限内做类平抛运动，即沿y轴正方向做匀速直线运动，沿x轴负方向做匀加速直线运动，由类平抛运动规律可以求出水平位移．
（2）在第一问手基础上，求出类平抛运动的末速度即为进入磁场的初速度．
（3）粒子进入第二象限后做匀速圆周运动，若要使粒子不进入第三象限，则当粒子的运动轨迹恰与x轴相切时，是粒子的最大的半径，对应最小的磁感应强度．

解答 解：（l）粒子在第I象限内的运动类似平抛运动，轨迹如图
  x_A=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ①
  F=Qe       ②
  F=ma       ③
  y=v₀t      ④
联立解得，y=0.4m    ⑤
故粒子经过y轴时的坐标为（0，0.4m）
（2）设粒子进入磁场时的速度为v
 v_x=at       ⑥
 v_y=v₀       ⑦
 v=$\sqrt{{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{x}}^{2}}$     ⑧
联立解得，v=2$\sqrt{2}×1{0}^{7}$m/s   ⑨
又因为tanα=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$    ⑩
所以α=45°     
故速度为：v=2$\sqrt{2}×1{0}^{7}$m/s，与y轴的夹角为45°．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其最大半径为R的圆弧轨迹如图
  θ=90°-α=45°  
  R（l+cosθ）=y    
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得磁感应强度最小值为B_min=2（1+$\sqrt{2}$ ）×10^-2T
则第 II象限内的磁场磁感应强度B≥2（1+$\sqrt{2}$ ）×10^-2T．
答：（l）C点的坐标为（0，0.4m）．
（2）粒子刚进入磁场时的速度为2$\sqrt{2}×1{0}^{7}$m/s，与y轴的夹角为45°．
（3）若要使粒子不能进入第 III象限，磁感应强度B的大小B≥2（1+$\sqrt{2}$ ）×10^-2T．

点评 本题是带电粒子在组合的匀强电场和匀强磁场中做类平抛运动和匀速圆周运动的综合题，需要考虑的是带电粒子在匀强磁场中运动的极端情况，要使粒子不进入第三象限，则带电粒子最大的运动半径恰恰与x轴相切，由几何关系求出最大半径，再由洛仑兹力提供向心力从而求出最小的磁感应强度．