Question

1．如图是一高山滑雪运动场中的滑道，BD附近是很小的一段曲道，可认为是半径均为R=40m的两圆滑连接的圆形滑道，B点和D点是两圆弧的最高点和最低点，圆弧长度远小于斜面AD及BC长度，从A到D点不考虑摩擦力的作用．一个质量m=60kg的高山滑雪运动员，从A点由静止开始沿滑道滑下，从B点水平抛出时刚好对B点没有压力，已知AB两点间的高度差为h=25m，滑道的倾角θ=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）运动员在B点时的速度．
（2）运动员在BC斜面的落点C到B点的距离（B点可认为是斜面上的最高点）．
（3）若BD之间的高度差可忽略不计，求运动员在D点对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）从B点水平抛出时刚好对B点没有压力，可知B点靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出B点的速度．
（2）根据平抛运动水平位移和竖直位移的关系求出运动的时间，结合水平位移和几何关系求出BC间的距离．
（3）根据牛顿第二定律和速度位移公式求出D点的速度，结合牛顿第二定律求出在D点所受的支持力，从而得出压力的大小．

解答 解：（1）运动员在B点时只受重力，根据牛顿第二定律有：$mg=m\frac{v_B^2}{R}$，
代入数据解得：v_B=20m/s
（2）设运动员从B运动到C点的时间为t，根据平抛运动规律有：
运动员竖直位移为：y=$\frac{g{t}^{2}}{2}$  ①
运动员水平位移为：x=v_Bt  ②
由几何关系可知：tanθ=$\frac{y}{x}$ ③
解①②③式得：t=3s
把t的值代入②式得：x=60m
所以BC的距离为：s=$\frac{x}{cosθ}$=$\frac{60}{0.8}$m=75m
（3）运动员从A运动到D的过程中，根据牛顿第二定律有：mgsinθ=ma
根据运动学规律有：${v}_{D}^{2}=2a\frac{h}{sinθ}$
运动员在D点时，根据牛顿第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立以上三式，代入数据解得：F_N=1350N．
根据牛顿第三定律，所以运动员对D点的压力为1350N． 
答：（1）运动员在B点时的速度为20m/s；
（2）运动员在BC斜面的落点C到B点的距离为75m；
（3）运动员在D点对轨道的压力为1350N．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．