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    3．某一金属细导线的横截面积为S、电阻率为ρ，将此细导线弯曲成半径为r的导体圆环，细导线的直径远远小于圆环的半径r．将此导体圆环水平地固定，在导体圆环的内部存在竖直向上的匀强磁场，如图甲所示，磁感应强度的大小随时间的变化关系为B=kt（k＞0且为常量）．该变化的磁场会产生涡旋电场，该涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心重合，如图乙所示．该涡旋电场会趋使上述金属圆环内的自由电子定向移动，形成电流．在半径为r的圆周上，涡旋电场的电场强度大小E涡处处相等，并且可以用E涡=$\frac{ε}{2πr}$计算，其中ε为由于磁场变化在半径为r的导体圆环中产生的感生电动势．涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同．
    经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞．假设电子与金属离子碰撞后其定向运动的速度立刻减为零，之后再次被涡旋电场加速，再次碰撞减速为零，…，依此类推；所有电子与金属离子碰撞的时间间隔都为τ，电子的质量为m、电荷量为-e．忽略电子运动产生的磁场、电子减速过程中的电磁辐射以及电子热运动的影响，不考虑相对论效应．
    （1）根据焦耳定律求在τ时间内导体圆环内产生的焦耳热的大小；
    （2）求单个电子在与金属离子碰撞过程中损失的动能；
    （3）设金属细导线单位体积内的自由电子数为n，在题干中的情景和模型的基础上推导金属细导线的电阻率ρ的表达式（结果用n、e、τ、m表示）．

    分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，及焦耳定律即可求解；
    （2）根据涡旋电场表达式，求得电子受到电场力，再依据牛顿第二定律，与运动学公式，即可求解；
    （3）先求出在τ时间内，导体中电子损失的总动能，再根据能量守恒定律，即可求解．

    解答 解：（1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势的大小为：
    ε=$\frac{△ϕ}{△t}=\frac{△（BS）}{△t}=S\frac{△B}{△t}=π{r^2}$k
    根据电阻定律，导体圆环的电阻为：R=ρ$\frac{2πr}{S}$
    导体圆环内感生电流的大小为：I=$\frac{ε}{R}=\frac{krS}{2ρ}$
    根据焦耳定律，在τ时间内，导体圆环内产生的焦耳热为：Q=I2Rτ
    联立以上各式，解得：Q=I2Rτ=$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$
    （2）根据题意知，由于磁场变化将在导体圆环中产生的涡旋电场，该电场的电场强度大小为：E=$\frac{ε}{2πr}=\frac{kr}{2}$
    电子在该电场中受到电场力的作用，电场力的大小为：F=Ee=$\frac{ker}{2}$
    电场力的方向与导线相切，即与速度方向相同，电子将会被加速，加速度大小为：a=$\frac{F}{m}=\frac{kre}{2m}$
    经过时间τ，电子的速度达到最大，其值为：vm=aτ=$\frac{kreτ}{2m}$
    电子此时有最大的动能，该动能即为碰撞过程中损失的动能，其值为：Ekm=$\frac{1}{2}m{v_m}^2=\frac{{{k^2}{r^2}{e^2}{τ^2}}}{8m}$
    （3）从微观上看，导体中共有电子数为：N=n•2πrS
    所以，在τ时间内，导体中电子损失的总动能为：Ek=NEkm
    从宏观上看，在τ时间内，导体产生的焦耳热为第（1）中求得的Q，电子损失的动能表现为宏观上导体发热，根据能量守恒定律得Ek=Q
    联立以上各式，解得：ρ=$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$
    答：（1）在τ时间内导体圆环内产生的焦耳热的大小$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$；
    （2）单个电子在与金属离子碰撞过程中损失的动能$\frac{{k}^{2}{r}^{2}{e}^{2}{τ}^{2}}{8m}$；
    （3）金属细导线的电阻率ρ的表达式$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$．

    点评 考查法拉第电磁感应定律的应用，掌握闭合电路欧姆定律与焦耳定律，及能量守恒定律的内容，注意符号之间的运算正确性，及物理模型的架构与物理规律的正确选用是解题的关键．

    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中物理 来源： 题型：选择题

    13．如图所示，将一质量为m的小球从空中O点以速度v0水平抛出，飞行一段时间后，小球经过P点时动能Ek=5mv02，不计空气阻力，则小球从O到P（　　）
    A．经过的时间为$\frac{{3{v_0}}}{g}$B．速度增量为3v0，方向斜向下
    C．运动方向改变的角度为arctan$\frac{1}{3}$D．下落的高度为$\frac{5v_0^2}{g}$

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    科目：高中物理 来源： 题型：多选题

    14．嫦娥载玉兔登月成功后，某同学设计让嫦娥从月球起飞返回地球，开始阶段运行的轨道简化为如图所示：先将嫦娥发射至近月圆轨道1上，然后变轨到椭圆轨道2上，最后由轨道2变轨进入圆形轨道3，A点为1、2轨道切点，B点为2、3轨道切点，设月球半径为R，3轨道半径为3R，嫦娥在近月圆轨道1上周期为T，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略介质阻力，则下列说法正确的是（　　）
    A．月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$
    B．嫦娥在近月圆轨道1上的机械能大于在轨道3上的机械能
    C．嫦娥在轨道3上的绕行速度大于在轨道1上的绕行速度
    D．嫦娥从A点沿椭圆轨道到B点的时间为$\sqrt{2}$T

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    科目：高中物理 来源： 题型：选择题

    11．A、B是竖直墙壁，现从A墙某处以垂直于墙面的初速度v0抛出一质量为m的小球，小球下落过程中与A、B进行了多次碰撞．碰撞过程中，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向与原方向相反，下面四个选项中能正确反映下落过程中小球的水平速度vx和竖直速度vy随时间变化关系的是（　　）
    A．B．C．D．

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    科目：高中物理 来源： 题型：选择题

    18．如图所示，水下光源S向水面A点发射一束光线，折射光线分成a，b两束，则（　　）
    A．在水中a光的速度比b光的速度小
    B．对于相同的障碍物，b光更容易发生衍射现象
    C．如果a光是黄光，则b光可能是红光
    D．若保持入射点A位置不变，将入射光线顺时针旋转，则从水面上方观察，b光先消失

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    科目：高中物理 来源： 题型：实验题

    8．在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，已知打点计时器电源频率为50Hz，重物质量m=1.00kg，当地重力加速度g=9.80m/s2．
    （1）下列实验步骤操作合理的排列顺序是ADBCEF（填写步骤前面的字母）．
    A．将打点计时器竖直安装在铁架台上
    B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落
    C．取下纸带，更换新纸带（或将纸带翻转）重新做实验
    D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带
    E．选择一条纸带，用刻度尺测出物体下落的高度h1、h2、h3…hn，计算出对应的瞬时速度v1、v2、v3…vn
    F．分别算出$\frac{1}{2}$mvn2和mghn，在实验误差允许的范围内看是否相等

    （2）某同学按照正确的操作选得纸带如图所示，其中O点是打下的第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取的三个连续点（其他点未画出），该同学用毫米刻度尺测量O点到A、B、C各点的距离，并记录在图中（单位cm）．
    ①这三组数据中不符合读数要求的是15.7
    ②根据图上所得的数据，应取图中O点到B点来验证机械能守恒定律
    ③从O点到③问中所取的点，重物重力势能的减少量△Ep=1.22J，动能的增加量△Ek=1.20J（结果保留三位有效数字）

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    科目：高中物理 来源： 题型：选择题

    15．在电磁学的发展过程中，许多科学家做出了贡献．下列说法正确的是（　　）
    A．奥斯特发现了电流磁效应，法拉第发现了电磁感应现象
    B．库仑发现了点电荷的作用规律，并通过油滴实验测定了元电荷的数值
    C．欧姆提出了电场线和磁感线的概念
    D．安培发现了磁场对运动电荷的作用规律，洛伦兹发现了磁场对电流的作用规律

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    科目：高中物理 来源： 题型：选择题

    12．如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h．如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是（　　）
    A．①③B．②④C．①④D．②③

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    科目：高中物理 来源： 题型：解答题

    8．如图所示，相距d的甲、乙两质点，从某时刻开始，甲向右做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，乙向右以速度v0做匀速直线运动．关于两质点的运动，某同学作了如下分析：
       经过时间t，设两质点间的距离为s，则s=$\frac{1}{2}$at2+d-v0t；当t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，也就是两质点的速度相等时，两质点相距最近，即两质点间的距离s有最小值．
       你觉得该同学的分析是否正确？如果你认为是正确的，请你求出两质点间的最小距离；如果你认为是不正确的，请作出正确分析并求出两质点间的最小距离．

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