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17.如图所示,线圈焊接车间的传送带不停地传送边长为L,质量为4kg,电阻为5Ω的正方形单匝金属线圈,线圈与传送带之间的滑动摩擦系数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.传送带总长8L,与水平面的夹角为θ=30°,始终以恒定速度2m/s匀速运动.在传送带的左端虚线位置将线圈无初速地放到传送带上,经过一段时间,线圈达到与传送带相同的速度,线圈运动到传送带右端掉入材料筐中(图中材料筐未画出).已知当一个线圈刚好开始匀速运动时,下一个线圈恰好放到传送带上.线圈匀速运动时,相邻两个线圈的间隔为L.线圈运动到传送带中点开始以速度2m/s 通过一固定的匀强磁场,磁感应强度为5T、磁场方向垂直传送带向上,匀强磁场区域宽度与传送带相同,沿传送带运动方向的长度为3L.重力加速度g=10m/s2.求:

(1)正方形线圈的边长L;
(2)每个线圈通过磁场区域产生的热量Q;
(3)在一个线圈通过磁场的过程,电动机对传送带做功的功率P.

分析 (1)根据牛顿第二定律列式求解线框的加速度;根据运动学公式列式求解线框的相对位移;然后联立方程组求解;
(2)线框在进入和离开磁场时有感应电流,根据切割公式、欧姆定律、焦耳定律列式求解即可;
(3)某一导线框穿过磁场过程,皮带上有多个线圈,分析机械能增加量、内能增加量,然后求和.

解答 解:(1)每个线圈从投放到相对传送带静止,运动的距离是一样的.设投放时间间隔为T,则v-t图如图所示.
在T时间内,传送带位移为x=v•T,
线圈加速过程位移为 x线=$\frac{v}{2}$•T
可得 2L=v•T
其中 v=a•T
对于线圈加速过程:
由牛顿第二定律得 f-mgsinθ=ma
其中:f=μmgcosθ
代入数据,可解得:a=2.5m/s;T=0.8s;L=0.8m
线圈匀速运动时,相邻两个线圈的间隔为L与线圈的边长相等,由图可以看出线圈的边长与线圈加速过程走过的距离相同,所以线圈的边长为0.8m.
(2)每个线圈穿过磁场过程中有电流的运动距离为2L,
 t穿=$\frac{2L}{v}$;   
感应电动势 E=BLv;   
发热功率 P=$\frac{{E}^{2}}{R}$
产生热量 Q=P•t穿=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
代入解得 Q=10.24J              
(3)解法一:在一个线圈通过磁场的过程:传送带运动距离4L,所用时间 t穿=$\frac{4L}{v}$=1.6s
一个线圈加速过程摩擦产生的热量为 Q摩擦=f•x相对=μmgcosθ•$\frac{v}{2}$•T=24J
一个线圈加速过程获得动能△Ek=$\frac{1}{2}$mv2=8J
一个线圈通过磁场的过程中焦耳热 Q焦耳=10.24J
一个线圈运动一个L距离重力势能增加△Ep=Lmgsinθ=16J
在一个线圈通过磁场的过程中,电动机对传送带做功的功率P
有 W=2Q摩擦+2×△Ek+2Q焦耳+15×△Ep=P•t穿
代入以上各式,得P=202.8W           
解法二:
分析某一导线框穿过磁场过程知:t穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s,其中有t1=$\frac{{t}_{穿}}{4}$=0.4s的时间传送带上有5个导线框,其中1个相对滑动,4个相对静止,则该段时间内电动机做功为:
 W1=F1vt1=(μmgcosθ+4mgsinθ+BIL)vt1=93.12J
其中有 t2=$\frac{3{t}_{穿}}{4}$=1.2s的时间传送带上有4个导线框,其中1个相对滑动,3个相对静止,则在该段时间内电动机做功为:
 W2=F2vt2=(μmgcosθ+3mgsinθ+BIL)vt2=231.36J
由P t穿=W1+W2,得:P=202.8w
答:
(1)正方形线圈的边长L为0.8m;
(2)每个线圈通过磁场区域产生的热量Q为10.24J;
(3)在一个线圈通过磁场的过程,电动机对传送带做功的功率P为202.8W

点评 本题关键是明确传送带的运动规律,然后分过程按照牛顿第二定律、运动学公式、切割公式、欧姆定律、焦耳定律列式研究.

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