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    12．无线充电技术可以让设备充电时摆脱电源线的束缚，其原理如图所示：转换器连接在墙壁的插座上，将电能转化为电磁波；用电设备上的接收器捕获电磁波，再将其转化回电能，为设备充电．现用该装置对质量为m的电动小汽车充电，接收器和转换器间距离为s0，充电过程中电磁波转化为电能的功率视作恒定，其转化效率为η1，经时间t0电池刚好被充满．然后启动小汽车，其电池将电能转为机械能的效率为η2，经过一段足够长的距离后耗尽电能，不计因摩擦和空气阻力造成的机械能损耗．然后小汽车进入一个半径为R的竖直放置的光滑圆形轨道．安装在轨道最高点的力传感器显示其所受压力大小恰好等于小车重力．小汽车视为质点，重力加速度为g．试求：

    （1）小汽车在最高点的速度大小v；
    （2）接收器接收到的电磁波的功率P；
    （3）现将接收器和转换器间距离改为s后继续实验，通过控制充电时间t可以保证小车不脱离轨道，试求时间t必须满足的关系式（用题给物理量t0、s0、s表达）．

    分析 （1）电动小车在最高点受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
    （2）根据机械能定义求解出小车的机械能，根据能量守恒定律列式求解接收器接受到的超声波的功率P；
    （3）小车不脱离轨道，有两种可能：做完整的圆周运动或者未到高度R而原路返回；根据能量守恒定律列式分析即可．

    解答 解：（1）在最高点，有 mg+FN=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又FN=mg
      可得：v=$\sqrt{2gR}$
    （2）小车从水平轨道到最高点满足机械能守恒，即在水平轨道上的动能为：
     Ek=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv2
    解得：Ek=3mgR
    小车电池将电能耗尽，部分转化为小车的机械能，即：Ek=Pt0η1η2
    故可得：P=$\frac{3mgR}{η{\;}_{1}η{\;}_{2}{t}_{0}}$
    （3）小车不脱离轨道有两种可能情况：①做完整的圆周运动；②未到高度R即原路返回．
    ①做完整的圆周运动，若恰好达到轨道最高点，则：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
    从水平轨道到最高点满足机械能守恒：Ek1=mg（2R）+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
    又Ek1=P1tη1η2
    由以上各式可得：$\frac{{E}_{K}}{{E}_{K1}}$=$\frac{P{t}_{0}}{{P}_{1}t}$=$\frac{3mgR}{\frac{5}{2}mgR}$
    因为电磁波是球面波，故接收器收到的功率与距离s的平方成反比：$\frac{P}{{P}_{1}}$=$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
    综上所述可得：t=$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，此时恰到达最高点，故能通过最高点的条件是：t≥$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．
    考虑到电池充满时间：P1t≤Pt0，可得 t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
    ②未到高度R即原路返回
    若恰好上升高度为R，则：Ek2=mgR，又Ek2=P2tη1η2
    由以上各式可得：$\frac{{E}_{K}}{{E}_{K2}}$=$\frac{P{t}_{0}}{{P}_{2}t}$=$\frac{3mgR}{mgR}$，故：t=$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
    即此时恰到上升高度R，故此情况下应满足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，可见电池并未充满电．
    综上，若满足：t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$ 或$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$≤t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，则小车不会脱离轨道．
    答：（1）电动小车在最高点的速度大小v为$\sqrt{2gR}$；
    （2）此次实验中接收器接受到的超声波的功率P为$\frac{3mgR}{η{\;}_{1}η{\;}_{2}{t}_{0}}$；
    （3）若小车不脱离轨道，充电时间t与接收器和电流转换器间距离，应满足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$ 或$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$≤t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．

    点评 本题关键明确小车的运动规律，结合机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律列式求解；第三问要注意分完整圆周运动和不完整圆周运动进行分析．

    练习册系列答案
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