Question

16．在桌面上有一个倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示．有一半径为r=0.1m的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知光在真空中传播速度c=3.0×l0⁸m/s，玻璃的折射率为n=$\sqrt{3}$．则：
（Ⅰ）通过计算说明光线1能不能在圆锥的侧面B点发生全反射？
（Ⅱ）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间是多少？（结果保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （I）当半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率为1.73，可得入射角与临界角的大小，所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出．
（Ⅱ）可根据几何关系可确定光线在圆锥内和外通过的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在玻璃中的速度，由运动学公式即可求解时间．

解答 解：（I）设全反射临界角为C，由sinC=$\frac{1}{n}$
得 C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜60°；
由几何知识可得，光线1射到圆锥侧面上时的入射角为 i=60°
所以  i＞C
所以，光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（Ⅱ）根据几何关系知 BE=EF=2rsin60°=$\sqrt{3}$r
光在玻璃中的速度 v=$\frac{c}{n}$
所以，总时间 t=$\frac{BE}{v}$+$\frac{EF}{c}$
代入数据解得 t≈1.58×10^-9s
答：
（I）光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（Ⅱ）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间是1.58×10^-9s．

点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时要掌握全反射条件，利用几何关系来辅助计算．