Question

如图所示，水平放置的金属导轨上连有电阻R，并处在垂直于轨道平面的匀强磁场中．今从静止起用力拉金属棒ab（与轨道垂直），用以下两种方式拉金属棒．若拉力恒定，经时间t₁后ab的速度为v，加速度为a₁，最终速度可达2v；若拉力的功率恒定，经时间t₂后ab的速度也是v，加速度为a₂，最终速度可达2v．求a₁和a₂满足的关系．

Answer 1

分析：根据E=BIL，I=

E

R

，E=BLv推导出棒的速度为v和2v时所受的安培力大小．由于两种情况下棒最终都做速度为2v的匀速运动，拉力与安培力平衡，根据牛顿第二定律和功率公式P=Fv求出两个加速度的关系．

解答：解：棒的速度为v时，所受的安培力为：
F_1⁼BLI₁=BL

E1

R

=BL

BLv

R

=

B2L2v

R

    
棒的速度为2v时，所受的安培力为：
F₂=BLI₂=

B2L2?2v

R

=

2B2L2v

R

，
两种情况下，棒最终做匀速运动的速度均为2v，
对应此时的拉力均为：F=F₂=

2B2L2v

R

                          
（1）若F恒定，ab棒速度为v时的加速度为：
a₁=

F-F1

m

，解得：a₁=

B2L2v

mR

；
（2）若P恒定，则得拉力的功率为：
P=F?2v=

4B2L2v2

R

，
ab棒速度为v时，拉力为：F?=

P

v

=

4B2L2v

R

，
此时ab棒的加速度为：a₂=

F′-F

m

，解得：a₂=

3B2L2v

mR

           
∴a₂=3a₁；
答：a₁和a₂满足的关系是：a₂=3a₁．

点评：本题可以和机车启动的两种方式进行类比解答，只不过机车启动时阻力不变，而该题中阻力为安培力，是不断变化的．推导出安培力的表达式是解答本题的关键．