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15.如图所示,P是一颗地球同步卫星,已知球半径为R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T.
(1)设地球同步卫星对地球的张角为2θ,求同步卫星的轨道半径r和sinθ的值.
(2)要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上A,B之间的区域,∠AOB=$\frac{π}{3}$,则卫星可定位在轨道某段圆弧上,求该段圆弧的长度l(用r和θ表示)

分析 (1)由万有引力提供向心力可得轨道半径大小,由几何关系确定sinθ;
(2)要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上,A,B之间的区域,相当于分别以AB为地球上的切点,由几何关系确定同步轨道段圆弧的长度.

解答 解:设地球和同步卫星的质量分别为M、m,则有:$\frac{GMm}{{r}^{2}}={m(\frac{2π}{T})}^{2}r$
在地球表面有:GM=gR2
由几何关系得:R=rsinθ
故有:r=$\root{3}{\frac{{{R}^{2}T}^{2}g}{{4π}^{2}}}$
sin$θ=\root{3}{\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}g}}$
(2)如图所示,

$α=\frac{π}{3}-θ$
故有:l=r•2α=2r($\frac{π}{3}-θ$)
答:(1)同步卫星的轨道半径为$\root{3}{\frac{{{R}^{2}T}^{2}g}{{4π}^{2}}}$,sin$θ=\root{3}{\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}g}}$
(2)该段圆弧的长度为2r($\frac{π}{3}-θ$).

点评 应用好万有引力提供向心力的表达式,记住黄金代换公式,恰当准确的找到几何关系是解决这类问题的关键.

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