Question

6．已知地球半径为R为6.4×10⁴km，地球表面重力加速度为g取9.8m/m²，不考虑地球自转的影响．
（1）推导并计算第一宇宙速度v₁；
（2）估算地球同步卫星的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星绕地球附近做匀速圆周运动的速度，根据万有引力等于重力求解．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出地球同步卫星的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度即为近地卫星的速度，根据万有引力等于重力得
  mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得 v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{9.8×6.4×1{0}^{7}}$≈7900m/s=7.9km/s
（2）对于地球同步卫星，其周期为 T=24h=24×36000s
根据万有引力等于向心力得
   G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
在地球表面，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
联立解得 h≈3.6×10⁴km
答：
（1）第一宇宙速度v₁是7.9km/s．
（2）地球同步卫星的高度约为3.6×10⁴km．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两个理论，并能灵活运用，注意卫星的高度和卫星的轨道半径是两个不同的概念．