Question

9．已知弹簧所储存的弹性势能与其形变量的平方成正比，如图所示，一轻弹簧左端固定在粗糙的水平轨道M点的竖直挡板上，弹簧处于自然状态时右端位于O点，轨道的MN段与竖直光滑半圆轨道相切于N点，ON长为l=1.9m，半圆轨道半径R=0.6m．现将质量为m的小物块放于O点并用力缓慢向左压缩x时释放，小物块刚好能达到N点；若向左缓慢压缩2x时释放，小物块刚好通过B点，小物块与水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.25，g取10m/s²．小物块看成质点．求：
（1）弹簧的压缩量x为多少？
（2）若半圆轨道的半径大小可以发生改变，则当轨道半径为多大时，小物块从B点飞出后，落地点到N点的水平距离最大，最大距离为多少？
（3）若小物块质量m=1kg，求符合上述条件时，小物块对B点作用力的大小．

Answer 1

分析 （1）物块恰好能通过最高点B，在B点由重力提向心力，对两种情况，分别用能量守恒定律列式，结合弹性势能的关系求解x．
（2）由题意，分析出弹簧压缩量为2x时的弹性势能．小物块从B点飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律得到水平距离与轨道半径的关系，再由能量守恒分析弹簧的弹性势能与B点速度的关系，联立求解．
（3）由上题结果求出B点的速度，由牛顿第二、第三定律求小物块对B点作用力的大小．

解答 解：（1）据题得，将弹簧向左压缩x时，弹簧的弹性势能为 E_P1=kx²，（k是比例系数）…①
物块从弹簧释放到N的过程中，由动能定理有：E_P1=μmg（x+l）…②
将弹簧向左压缩2x时，弹簧的弹性势能为 E_P2=k（2x）²=4E_P1 …③
物块恰好能通过最高点B时，有 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…④
物块从弹簧释放到B的过程中，由动能定理有：E_P2=μmg（2x+l）+2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…⑤
联立①～⑤得：x=$\frac{5R}{4μ}$-$\frac{3l}{2}$=$\frac{5×0.6}{4×0.25}$-$\frac{3×1.9}{2}$=0.15m…⑥
（2）由上解得 E_P2=4μmg（x+l）=4×0.25×mg（0.15+1.9）=2.05mg…⑦
小物块从B点飞出后做平抛运动，则水平距离为：S=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$…⑧
物块从弹簧释放到B的过程中，由动能定理有：E_P2=μmg（2x+l）+2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…⑨
由⑦⑧⑨解得：S=$\sqrt{（3-4R）•4R}$…（11）
根据数学知识可知，当3-4R=4R，即R=$\frac{3}{8}$m时S有最大值，S的最大值为 S_max=1.5m…（12）
（3）若小物块质量m=1kg，符合上述条件时，由⑧解得 v_B=$\sqrt{15}$m/s…（13）
在B点，由牛顿第二定律得 mg+N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…（14）
解得：N=30N
由牛顿第三定律得，小物块对B点作用力的大小为30N．
答：（1）弹簧的压缩量x为0.15m．
（2）当轨道半径为$\frac{3}{8}$m时，小物块从B点飞出后，落地点到N点的水平距离最大，最大距离为1.5m．
（3）小物块对B点作用力的大小为30N．

点评 解决本题的关键有二：一是抓住题的信息分析弹簧弹性势能的关系．二是根据平抛运动的规律和动能定理结合得到平抛运动的水平距离与轨道半径的关系式，运用数学知识求极值．