Question

我国发射的“嫦娥一号”卫星发射后首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，通过加速再进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地心最近距离为L₁，最远距离为L₂，卫星快要到达月球时，依靠火箭的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，最终在离月心距离L₃的“绕月轨道”上飞行．已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为g/6，求：
（1）卫星在“停泊轨道”上运行的线速度；
（2）卫星在“绕月轨道”上运行的线速度．
（3）假定卫星在“绕月轨道”上运行的周期内为T，卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该一个周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力和地球表面的物体受到的重力等于万有引力，由以上二式可解得卫星在“停泊轨道”上运行的线速度v₁．
（2）根据万有引力提供向心力和在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，由以上二式可解得卫星在“绕月轨道”上运行的线速度v₂．
（3）根据题意画出地球和月球的平面示意图，作出地月球面的公切线，找出卫星运动时发出的信号被遮挡所在的圆弧．
根据万有引力定律求出探月卫星绕月球转动的周期．
由几何关系求出发出的信号被遮挡所在的圆弧所对应的圆心角，再结合周期求出信号被遮挡的时间．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力
G

M地m

L12

=m

v12

L1

根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
G

M地m

R2

=mg
得 v1=

gR2 L1

（2）根据万有引力提供向心力
G

M月m

L32

=m

v22

L3

根据在月球表面的物体受到的重力等于万有引力
G

M月m

r2

=mg月
v2=

gr2 6L3

（3）如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡．

cosβ=∠COB=

r

L3

cosα=∠DOA=

R-r

L2-L1

gR2 L1

t=

α-β

π

T=（arccos

R-r

L2-L1

-arccos

r

L3

）

T

π

答：（1）卫星在“停泊轨道”上运行的线速度是

gR2 L1

；
（2）卫星在“绕月轨道”上运行的线速度是

gr2 6L3

．
（3）在该一个周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间是（arccos

R-r

L2-L1

-arccos

r

L3

）

T

π

点评：12、本题要掌握天体运动的两个关系：万有引力提供向心力和星球表面的物体受到的重力等于万有引力．
3、本题的关键是要能够根据题意作出物理情景图象，找出所要求解的运动区域．
数学几何关系的应用也是解决本题的关键．