Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．
已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时，刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、l₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）



（1）求电压U的大小．
（2）求

1

2

时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）何时刻进入两极板的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．

Answer 1

（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，
            则有 y=

1

2

l，x=l
         由E=

U0

l

①，Eq=ma②，y=

1

2

l=

1

2

a

t

20

③
       联立以上三式，解得两极板间偏转电压为U0=

ml2

q t 20

④．
  （2）

1

2

t0时刻进入两极板的带电粒子，前

1

2

t0时间在电场中偏转，后

1

2

t0时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
   由题，带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v0=

l

t0

    ⑤
   带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为vy=a?

1

2

t0⑥
   带电粒子离开电场时的速度大小为v=

v 2x + v 2y

⑦
   设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，
   则有Bvq=m

v2

R

⑧，联立③⑤⑥⑦⑧式
           解得R=

5 ml

2qBt0

⑨
   （3）在t=0或2t₀时刻进入两极板的带电粒子，在电场中做类平抛运动的时间最长，飞出极板时速度方向与磁场边界的夹角最小，而根据轨迹几何知识可知，轨迹的圆心角等于粒子射入磁场时速度方向与边界夹角的2倍，所以在t=0或2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．
   带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为v_y′=at₀⑩，
   设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则tanα=

v0

v ′y

，
   联立③⑤⑩式解得α=

π

4

，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为2α=

π

2

，
   所求最短时间为tmin=

1

4

T，
   带电粒子在磁场中运动的周期为T=

2πm

Bq

，联立以上两式解得tmin=

πm

2Bq

．