Question

4．甲、乙两颗人造地球卫星，离地面的高度分别为R和2R（R为地球半径），质量分别为m和3m，它们都绕地球做匀速圆周运动，则
（1）它们的周期之比T_甲：T_乙=2$\sqrt{2}$：3$\sqrt{3}$．
（2）它们的线速度之比v_甲：v_乙=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$．
（3）它们的角速度之比ω_甲：ω_乙=3$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$．
（4）它们的向心加速度之比a_甲：a_乙=9：4．
（5）它们所受地球的引力之比F_甲：F_乙=3：4．

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动的向心力列出等式，F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma=mω²r，表示出需要比较的物理量进行求解．

解答 解：根据万有引力提供圆周运动的向心力列出等式，F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma=mω²r，
甲乙两颗人造地球卫星，离地面的高度分为R和2R（R为地球半径），甲乙两颗人造地球卫星的轨道半径之比r_甲：r_乙=2：3．
（1）周期T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，他们的周期之比T_甲：T_乙=2$\sqrt{2}$：3$\sqrt{3}$，
（2）线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，他们的线速度之比v_甲：v_乙=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$，
（3）角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，他们的角速度之比ω_甲：ω_乙=3$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$，
（4）向心加速a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，他们的向心加速度之比a_甲：a_乙=9：4，
（5）所受地球引力F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$，他们所受地球引力之比F_甲：F_乙=3：4．
故答案为：（1）2$\sqrt{2}$：3$\sqrt{3}$；（2）$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$；（3）3$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$；（4）9：4；（5）3：4

点评 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，列式讨论是解决本题的关键，知道周期、线速度、加速度、角速度与轨道半径有关．