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4.如图所示,在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上,x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称,PQ间的距离d=30cm.坐标系所在空间存在一匀强电场,场强的大小E=1.0N/C.一带电油滴在xOy平面内,从P点与x轴成30°的夹角射出,该油滴将做匀速直线运动,已知油滴的速度v=2.0m/s射出,所带电荷量q=1.0×10-7C,重力加速度为g=10m/s2
(1)求油滴的质量m.
(2)若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场,使油滴通过Q点,且其运动轨迹关于y轴对称.已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T,求:
a.油滴在磁场中运动的时间t;
b.圆形磁场区域的最小面积S.

分析 (1)对带电油滴进行受力分析,根据牛顿运动定律即可求解;
(2)带电油滴进入匀强磁场,其轨迹如图所示,根据向心力公式、求出半径,进而求出周期,根据几何关系求出圆心角,继而求出粒子在磁场中运动的时间,由题意可知,油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动,且运动时间相等.根据几何关系和速度公式求解粒子在这两段运动过程中的时间,三段运动时间之和即为总时间,连接MN,当MN为圆形磁场的直径时,圆形磁场面积最小,根据几何关系求出半径,S=πr2求解面积

解答 解:(1)对带电油滴进行受力分析,根据牛顿运动定律有:
qE-mg=0
所以$m=\frac{qE}{g}=1.0×1{0}^{-8}kg$
(2)带电油滴进入匀强磁场,其轨迹如图所示,设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t,根据牛顿第二定律:
所以$Bqv=\frac{{mv}^{2}}{R}$
解得:R=$\frac{mv}{Bq}=0.10m$
所以$T=\frac{2πr}{v}=0.1πs$
设带电油滴从M点进入磁场,从N点射出磁场,由于油滴的运动轨迹关于y轴对称,如图所示,根据几何关系可知∠MO'N=60°,所以,带电油滴在磁场中运动的时间
${t}_{2}=\frac{T}{6}=\frac{0.1π}{6}$s
由题意可知,油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动,且运动时间相等.根据几何关系可知,
$PM=NQ=\frac{\frac{d}{2}-Rsin30°}{cos30°}=\frac{0.2}{3}\sqrt{3}m$
所以油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间为:${t}_{1}={t}_{3}=\frac{PM}{v}=\frac{0.1}{3}\sqrt{3}$s
则油滴从P到Q运动的时间为:$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=(\frac{0.2}{3}\sqrt{3}+\frac{0.1π}{6})s=0.17s$
(3)连接MN,当MN为圆形磁场的直径时,圆形磁场面积最小,如图所示.根据几何关系圆形磁场的半径
r=Rsin30°=0.05m
其面积为:S=πr2=0.0025πm2=7.9×10-3m2
答::(1)求油滴的质量m为1.0×10-8kg.
(2)a.油滴在磁场中运动的时间为0.17s;
b.圆形磁场区域的最小面积S为7.9×10-3m2

点评 本题关键是先确定油滴的运动情况,并画出运动轨迹,然后逐段逐段分析,匀速圆周运动阶段洛伦兹力提供向心力,并结合几何知识求解,难度适中.

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