Question

13．据悉，神舟十号飞船计划于2013年6月上旬发射，它标志着我国载人航天工程技术日臻成熟．现假设飞船正常飞行地圆轨道半径为R，若要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率减小到适当值，使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动（在椭圆轨道上只受重力作用），椭圆与地球表面在B点相切（即着地点），假设着陆时不用减速，已知地球半径为R₀，地表处的重力加速度为g．求：
（1）飞船由A到B经历多长时间？
（2）飞船在A点应该减小到多大的速率？
（提示：开普勒第二定律可用公式表达为v₁r₁=v₂r₂，即椭圆轨道上任意两处的线速度v与距地球球心距离r的乘积相等）

Answer 1

分析 （1）飞船返回时是沿地心为焦点的椭圆轨道运行，由开普勒第三定律可求飞船的返回时间；（2）根据万有引力定律和开普勒第二定律（公式表达为v₁r₁=v₂r₂）可求飞船在A点应该减小到的速率．

解答 解：（1）飞船返回时间为运行周期T′的一半，而半长轴为$\frac{1}{2}（R+{R}_{0}）$，
由开普勒定律可得：$\frac{{R}^{2}}{{T}^{3}}=\frac{{（\frac{R+{R}_{0}}{2}）}^{2}}{T{′}^{3}}$，
所以飞船由A到B经历的时间$t=\frac{1}{2}T′$．
以上各式联立得，$t=\frac{\sqrt{2}}{8}{（1+\frac{{R}_{0}}{R}）}^{\frac{3}{2}}T$．
（2）飞船着陆时，有：$\frac{{m{v}_{B}}^{2}}{{R}_{0}}=mg$
根据开普勒第二定律知，v_AR=v_BR₀
两式联立得，飞船在A点应该减小到的速率：${v}_{A}=\frac{{R}_{0}}{R}\sqrt{{gR}_{0}}$．
答：（1）飞船由A到B经历的时间为$\frac{\sqrt{2}}{8}{（1+\frac{{R}_{0}}{R}）}^{\frac{3}{2}}T$；
（2）飞船在A点应该减小到的速率为$\frac{{R}_{0}}{R}\sqrt{{gR}_{0}}$．

点评 开普勒定律虽是对太阳行星而言，同样也适用于地球卫星系统，绕同一天体运行的星体可用开普勒第三定律研究半径和周期的关系．