Question

如图所示，某货场需将质量为m₁＝100kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R＝1.8m。地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l＝2m，质量均为m₂＝100kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ₂＝0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s²）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件。
（3）若μ₁＝0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。

Answer 1

解：（1）设货物滑到圆轨道末端时的速度为v₀，对货物的下滑过程，
根据机械能守恒定律得①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为F_N，根据牛顿第二定律得②
联立①②式，代入数据得 F_N＝3000N③
根据牛顿第三定律，货物对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下。
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得 μ₁m₁g≤μ₂(m₁＋2m₂)g④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得 μ₁m₁g>μ₂(m₁＋m₂)g⑤
联立④⑤式，代入数据得 0.4<μ₁≤0.6⑥
（3）μ₁＝0.5，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动。
设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a₁，由牛顿第二定律得μ₁m₁g＝m₁a₁⑦
设货物滑到木板A末端时的速度为v₁，由运动学公式得v₁²－v₀²＝－2a₁l⑧
联立①⑦⑧式，代入数据得v₁＝4m/s⑨
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得v₁＝v₀－a₁t⑩
联立①⑦⑨⑩式，代入数据得t＝0.4s