Question

10．如图所示，三个同心圆将空间分隔成四个区域，圆Ⅰ的半径为R，在圆心O处有一粒子源，该粒子源可向各个方向释放质量为m，带电量为q的粒子，圆Ⅱ的半径为2R，在圆Ⅰ与圆Ⅱ的环形区域内存在垂直于纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，圆Ⅲ是一绝缘圆柱形管，在圆Ⅱ与圆Ⅲ间存在垂直于纸面向里的匀强磁场B₁，该磁场的宽度为2R，不计粒子的重力，粒子源所释放的某一粒子刚好沿圆Ⅱ的切线方向进入匀强磁场B₁，假设粒子每一次经过圆Ⅱ且与该圆相切时均进入另一磁场，则：
（1）求该粒子速度的大小；
（2）若进入匀强磁场B₁的粒子刚好垂直打在管壁上，求B₁的大小（可用B表示）；
（3）若打在管壁上的粒子能按原速率反弹，则从开始到第一次回到O点所经历的时间至少是多少．

Answer 1

分析 （1）根据带电粒子在磁场中受到洛伦兹力，提供向心力，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，结合向心力表达式，与几何关系，即可求解；
（2）画出正确的运动轨道图，结合几何关系，确定已知长度与轨道半径的关系，从而求解；
（3）根据圆周运动的周期公式，结合各自轨道对应的圆心角，及运动学公式，从而求解从开始到第一次回到O点所经历的时间．

解答 解：（1）设粒子进入磁场B的速度为v₁，
粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，如图所示的运动轨道；

由图可知，直角三角形OA0₁中，由勾股定理，则有：（2R-r₁）²=R²+r${\;}_{1}^{2}$；
解得：r₁=$\frac{3}{4}R$；
再根据牛顿第二定律，则有：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v₁=$\frac{3BqR}{4m}$；
（2）由题意可知，带电粒子呈现负电，当进入磁场B₁时，洛伦兹力与之前的方向相反，则运动轨迹如上图所示；
设在磁场B₁中的运动轨道对应的半径为r₂，
由几何关系可知，在直角三角形OO₂C中，则有：$（4R）^{2}{+r}_{2}^{2}=（2R+{r}_{2}）^{2}$；
解得：r₂=3R；
因洛伦兹力不做功，则粒子的速度大小不变，
根据B₁qv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：B₁=$\frac{m{v}_{1}}{q{r}_{2}}$=$\frac{m\frac{3BqR}{4m}}{q•3R}$=$\frac{B}{4}$；
（3）粒子从O到A，做匀加速直线运动，由运动学公式，可知，运动的时间t₁=$\frac{R}{\frac{{v}_{1}}{2}}$=$\frac{8m}{3Bq}$；
当粒子从A到B做匀速圆周运动，因r₁=$\frac{3}{4}R$，则tan∠OO₁A=$\frac{3}{4}$，解得：∠OO₁A=37°，因此∠AO₁B=143°；
而粒子从B到C也做匀速圆周运动，因r₂=3R；则tan∠OO₂C=53°；
那么粒子从A到C的运动的时间t′=t₂+t₃=$\frac{2πm}{Bq}$$\frac{143°}{180°}$+$\frac{2πm}{{B}_{1}q}×\frac{53°}{180°}$=$\frac{3.94πm}{Bq}$；
所以从开始到第一次回到O点所经历的时间至少是t=2（t+t′）=$\frac{（16+23.7π）m}{3Bq}$；
答：（1）该粒子速度的大小$\frac{3BqR}{4m}$；
（2）B₁的大小$\frac{B}{4}$；
（3）则从开始到第一次回到O点所经历的时间至少$\frac{（16+23.7π）m}{3Bq}$．

点评 考查带电粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律与向心力的综合运用，理解周期与半径公式的推导，画出正确的运动轨迹图是解题的关键，注意在磁场中求解运动的时间时，除与圆心角的大小有关，与磁场的大小有关．