Question

18．一质量M=0.8kg的中空的、粗细均匀的、足够长的绝缘细管，其内表面粗糙、外表面光滑；有一质量为m=0.2kg、电荷量为q=0.1C的带正电滑块以水平向右的速度进入管内，如图甲所示．细管置于光滑的水平地面上，细管的空间能让滑块顺利地滑进去，示意图如图乙所示．运动过程中滑块的电荷量保持不变．空间中存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为B=1.0T．（取水平向右为正方向，g=10m/s²）

（1）滑块以v₀=10m/s的初速度进入细管内，则系统最终产生的内能为多少？
（2）滑块最终的稳定速度v_t取决于滑块进入细管时的初速度v₀，请讨论当v₀的取值范围在0至60m/s的情况下，滑块和细管分别作什么运动，并求出v_t和v₀的函数关系？

Answer 1

分析 （1）小滑块与细管组成的系统水平方向外力为零，因此水平方向系统动量守恒，然后根据功能关系即可求解．
（2）本问的关键是正确分析重力和洛伦兹力的关系，以重力等于洛伦兹力为临界点进行分析，当重力大于洛伦兹力时，细管下壁与滑块之间有支持力，当重力小于洛伦兹力时，细管上壁与滑块之间有支持力．明确了这些便找到了解决问题的突破点．

解答 解：（1）小球刚进入管内时受到洛仑兹力为：F_洛=qv₀B=1N…①
依题意小球受洛仑兹力方向向上，F_洛＜mg=2N，小球与管的下壁有弹力，
摩擦使球减速至最终与细管速度相同时，两者以共同速度v运动，
由动量守恒定律：mv₀=（m+M）v…②
对系统：由能量守恒定律：$\frac{1}{2}$mv₀²=Q+$\frac{1}{2}$（M+m）v²…③
由②③得：Q=8J，故系统最终产生的内能为8J．
（2）①分析：当滑块对管的上下壁均无压力时，滑块进入细管的速度满足：
mg=qv'₀B…④
解得：v'₀=20m/s，
下面分a、b两种情况进行讨论分析：
a、当滑块初速小于v₀=20m/s时，F_洛＜mg，滑块与管的下壁有弹力，并有摩擦力，使滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者共速
对系统：依动量守恒定律：mv₀=（m+M）v_t …⑤
代入数据得：v_t=0.2v₀ （0＜v₀＜20m/s）…⑥
b、当滑块初速20m/s≤v₀≤60m/s时，滑块与管的上壁有弹力，摩擦使滑块减速最终速度为 v_t=20m/s，而细管作匀加速直线运动，加速到V′⑧
当滑块以初速度为v₀进入，若恰好V′=v_t=20m/s，则对系统依动量守恒定律有：mv₀=（m+M）V′
可得：v₀=100m/s＞60m/s，
当滑块以v₀=60m/s进入时，f_洛=qv₀B=6N＜（m+m）g=10N
细管工不会离开地面．
可见：当滑块以初速度20m/s≤v₀≤60m/s进入细管时，细管最终不能加速到20m/s
故当滑块初速小于v₀=20m/s时，滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者以相同的速度一起匀速运动；
当滑块初速20m/s≤v₀≤60m/s时，滑块作匀减速直线运动，当速度达到20m/s时，开始运动运动，细管开始做匀加速运动，后做匀速运动，且速度小于20m/s．
答：（1）滑块以v₀=10m/s的初速度进入细管内，则系统最终产生的内能为8J
（2）故当滑块初速小于v₀=20m/s时，滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者以相同的速度一起匀速运动；
当滑块初速20m/s≤v₀≤60m/s时，滑块作匀减速直线运动，当速度达到20m/s时，开始运动运动，细管开始做匀加速运动，后做匀速运动，且速度小于20m/s．

点评 本题过程、受力情况比较复杂，考查知识点全面，有一定难度，解答这类题目的关键是正确进行受力分析，弄清运动形式，然后依据规律求解．