Question

17．如图所示，两块平行金属极板MN水平放置，板长L=l m，间距d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，两金属板间电压 U_MN=1×10⁴V；在平行金属板右侧依次存在ABC和FGH两个全等的正三角形区域，正三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场，三角形的上顶点A与上金属板M平齐，BC边与金属板平行，AB边的中点P恰好在下金属板N的右端点；正三角形FGH内存在垂直纸面向外的匀强磁场，已知A、F、G处于同一直线上，B、C、H也处于同一直线上，AF两点距离为$\frac{2}{3}$m．现从平行金属极板MN左端沿中心轴线方向入射一个重力不计的带电粒子，粒子质量m=3×10^-10kg，带电量q=+1×10^-4C，初速度v₀=1×10⁵m/s．求：

（1）带电粒子从电场中射出时的速度v的大小和方向？
（2）若带电粒子进入三角形区域ABC后垂直打在AC边上，求该区域的磁感应强度？
（3）接第（2）问，若要使带电粒子由FH边界进入FGH区域并能再次回到FH界面，求B₂至少应为多大？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，运用运动的分解法，根据平抛运动的基本规律即可求解；
（2）先求出带电粒子出电场时竖直方向的偏转的位移．带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，再根据几何关系及向心力公式即可求解磁场强度；
（3）分析知当轨迹与边界GH相切时，对应磁感应强度B₂最小，画出粒子运动轨迹根据几何关系及向心力公式即可求解磁场强度．

解答 解：（1）设带电粒子在电场中做类平抛运动的时间为t，则有：
t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{1}{1×1{0}^{5}}$s=1×10^-5s
加速度为：a=$\frac{qU}{md}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10¹⁰ m/s²；
带电粒子从电场中射出时竖直方向的速度为：
v_y=at=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10⁵m/s
射出时速度为：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×10⁵m/s
速度v与水平方向夹角为θ，则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故θ=30°，即垂直于AB方向出射．
（2）带电粒子出电场时竖直方向的偏转的位移为：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m=$\frac{d}{2}$，即粒子由P点垂直AB射入磁场，
由几何关系知在磁场ABC区域内做圆周运动的半径为为：R₁=PA=$\frac{d}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$m
由B₁qv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$得：B₁=$\frac{mv}{q{R}_{1}}$=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$T
（3）分析知当轨迹与边界GH相切时，对应磁感应强度B₂最小，运动轨迹如图所示：

由几何关系得：R₂+$\frac{{R}_{2}}{sin60°}$=1
故轨迹半径 R₂=（2$\sqrt{3}$-3）m
又B₂qv=m $\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
故B₂=$\frac{2+\sqrt{3}}{5}$T．
答：（1）带电粒子从电场中射出时的速度v的大小为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×10⁵m/s，垂直于AB方向出射；
（2）若带电粒子进入中间三角形区域后垂直打在AC边上，该区域的磁感应强度B₁为$\frac{3}{10}\sqrt{3}$T；
（3）若要使带电粒子由FH边界进入FGH区域并能再次回到FH界面，B₂至少应为$\frac{2+\sqrt{3}}{5}$T．

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．