Question

（2011?杭州二模）为了解决高楼救险中云梯高度不够高的问题，可在消防云梯上再伸出轻便的滑杆，如图为一次消防演习中模拟解救被困人员的示意图，被困人员使用安全带上的挂钩挂在滑杆上、沿滑杆下滑到消防云梯上逃生．为了安全，被困人员滑到云梯顶端的速度不能太大，通常滑杆由 AO、OB两段直杆通过光滑转轴在O处连接，滑杆A端用挂钩钩在高楼的固定物上，且可绕固定物自由转动，B端用铰链固定在云梯上端，且可绕铰链自由转动，以便调节被困人员滑到云梯顶端的速度大小．设被困人员在调整好后的滑杆上下滑时滑杆与竖直方向的夹角保持不变，被困人员可看作质点、不计过O点时的机械能损失．已知AO长L₁=6m，OB长L₂=12m，竖直墙与云梯上端点B的水平距离d=13.2m，被困人员安全带上的挂钩与滑杆AO间、滑杆OB间的动摩擦因数均为μ=5/6，被困人员到达云梯顶端B点的速度大小不能超过6m/s，取g=10m/s²．
（1）现测得OB与竖直方向的夹角为53⁰，请分析判断被困人员滑到B点是否安全．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）若云梯顶端B点与竖直墙间的水平距离保持不变，求能够被安全营救的被困人员与云梯顶端B的最大竖直距离．（结果可用根式表示）

Answer 1

分析：（1）对OA由几何关系可求得夹角，对人受力分析由牛顿第二定律可求得加速度的大小及方向；
再运用运用学公式求得被困人员到达云梯顶端B点速度，去进行比较．
（2）对全程由动能定理可得出重力及摩擦力做功与动能的关系，由几何关系可求得最大距离．

解答：解：（1）设杆OA、OB与竖直方向的夹角分别为α、β，由几何关系：
d=L₁sinα+L₂sinβ            
α=37°
由牛顿第二定律：
mgcosα-μmgsinα=ma₁      
a₁=3m/s² 
V₀²=2a₁L₁
 V₀=6m/s
mgcosβ-μmgsinβ=ma₂ 
a₂=-2/3m/s² 
V_B²-V₀²=2（-a₂）L₂
VB=2

5

m/s
因V_B＜6m/s，被困人员能安全到达云梯顶端B点．
（2）设滑杆两端点AB的最大竖直距离为h，对被困人员下滑全过程由动能定理得：mgh-μmgL1sinα′-μmgL2sinβ′=

1

2

mV2
d=L₁sinα'+L₂sinβ'
h=

V2

2g

+μd
h≤12.8m
若两杆伸直，AB间的竖直高度为：
h′=

(L1+L2)2-d2

h′=

149.76

m=12.24m
h'＜h
所以能够被安全营救的被困人员与云梯顶端B的最大竖直距离应为h_m=12.24m．
答：（1）现测得OB与竖直方向的夹角为53⁰，被困人员滑到B点是安全的．
（2）若云梯顶端B点与竖直墙间的水平距离保持不变，能够被安全营救的被困人员与云梯顶端B的最大竖直距离是12.24m．

点评：本题重点在于对几何关系的认识，要注意找出题目中的临界条件，再结合能量关系即可求出所要求的量来．