Question

11．自从人类揭开了火星的神秘面纱之后，土星也成了世界关注的焦点．经过近7年时间，在太空中风尘仆仆地穿行2亿千米后，美航天局和欧洲航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2012年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测．若“卡西尼”号土星探测器进入土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t．求土星的质量和平均密度．

Answer 1

分析 探测器绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，即可求得土星质量及其密度．

解答 解：设土星的质量为M，万有引力提供向心力，
即：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
$T=\frac{t}{n}$
解得：$M=\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$
土星的平均密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{t}^{2}}$
答：土星的质量为$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$
平均密度为$\frac{3{πn}^{2}（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{t}^{2}}$

点评 本题要掌握天体运动的两个重要关系：万有引力提供向心力，在星球表面的物体受到的重力等于万有引力．同时能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式是解题的关键．