Question

如图所示，光滑水平面上有两个质量分别为m₁、m₂的小球a、b，球a以水平速度v_o=1m/s向右匀速运动，球b处于静止状态．两球右侧有一竖直墙壁，假设两球之间、球与墙壁之间发生正碰时均无机械能损失，为了使两球能发生、而且只能发生两次碰撞，试讨论两球的质量之比m₁/m₂应满足什么条件．

Answer 1

设球a和球b第一次碰撞后速度分别为v₁和v₂，取向右为正方向．
由系统动量守恒：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂…①
系统机械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…②
解得：v₁=

m1-m2

m1+m2

v₂=

2m1

m1+m2

…③
讨论情况分别如下：
（1）、当m₁＞m₂时，碰后a、b两球均向右运动，当球b与墙壁碰后以速度v₂返回，并将与球a发生第二次碰撞，设碰后两球速度分别为v₁′，v₂′则有：
m₁v₁+m₂（-v₂）=m₁v₁′+m₂v₂′

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²=

1

2

m₁v₁′²+

1

2

m₂v₂′²
解得：v₁′=

(m1-m2)2-4m1m2

(m1+m2)2

…④
v₂′=

4m1(m1-m2)

(m1+m2)2

…⑤
因为m₁＞m₂，故第二次碰后球b向右运动将再次与墙相碰，并以v₂′返回；若要球a和球b不发生第三次碰撞，则应满足 v₁′＜0  且v₂′≤|v'₁|
即 （m₁-m₂）²-4m₁m₂＜0 　且4m₁（m₁-m₂）≤|(m1-m2)2-4m1m2|…⑥
解得：3-2

2

＜

m1

m2

＜3+2

2

且1-

2 5

5

≤

m1

m2

≤1+

2 5

5

…⑦
再加上条件m₁＞m₂   得：1＜

m1

m2

≤1+

2 5

5

…⑧
（2）、m₁=m₂时，由①②得v₁=0，v₂=1m/s球b与墙壁碰后以速度1m/s返回与球a第二次碰撞，碰后a球以1m/s的速度向左运动，b球静止，此后两球不再相碰…⑨
（3）、m₁＜m₂时，由①②可知v₁＜0，v₂＞0，即a球向左运动，球b向右运动并与墙壁碰后原速弹回，要使球b与球a发生第二次碰撞，应满足：
v₂＞-v₁　即：2m₁＞-（m₁-m₂），得

m1

m2

＞

1

3

…⑩
因m₁＜m₂，故两球第二次相碰后，球a向左运动的速度必大于球b向左的运动速度，此后两球不再发生碰撞．
综合（1）（2）（3）得

m1

m2

满足范围：

1

3

＜

m1

m2

≤1+

2 5

5

…
答：两球的质量满足范围：

1

3

＜

m1

m2

≤1+

2 5

5

．