Question

一弹性小球自h₀=5m高处自由落下，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰撞前的

7

9

倍．不计每次碰撞时间，g取10m/s²，试计算小球从开始下落到停止运动所经历时间t和通过的总路程s．【首项a₁、公比q的无穷等比数列的和为

a1

1-q

】．

Answer 1

分析：设小球第一次落地时速度为v₀，进而可表示出v₀，v_1…v_n，进而前三次小球下落的路程，归纳出球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程，进而的出从第一次到第n+1次所经过的路程的极限；同理可归纳出小球从开始下落到第n次与地面相碰经过时间，求出前n项和的极限即可得到答案．

解答：解：设小球第一次落地时速度为v₀，则有v₀=

2gh0

=10m/s
那么第二，第三，第n+1次落地速度分别为v₁=

7

9

v₀，v₂=（

7

9

）²v₀，…，v_n=（

7

9

）ⁿv₀
小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h₀=5m，
小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L₁=2×

v 2 1

2g

=10×（

7

9

）²．
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L₂，则L₂=2×

v 2 2

2g

=10×（

7

9

）⁴．
由数学归纳法可知，小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为L_n=10×（

7

9

）²ⁿ．
故小球从开始下落到停止运动所经历时间t和通过的总路程s为：
S=h₀+L₁+L₂=5+

10×( 7 9 )2

1-( 7 9 )2

=20.3（m）
小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t₀=

2h0 g

=1s．
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t₁=2×

v1

g

=2×

7

9

，
同理可得t_n=2×（

7

9

）ⁿ
故t=t₀+t₁+t₂+…=1+

2× 7 9

1- 7 9

=8s
答：小球从开始下落到停止运动所经历时间t为8s，通过的总路程s为20.3m．

点评：本题主要考查等比数列的求和公式．可以通过归纳法归纳出其中包含的等比数列．