Question

两行星A和 B 是两个均匀球体，行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期T_a；行星B 的卫星b沿圆轨道运行的周期为T_b．设两卫星均为各中心星体的近表卫星，而且T_a：T_b=1：4，行星A和行星 B的半径之比 R_A：R_B=1：2，则行星A和行星 B的密度之比ρ_A：ρ_B=

16：1

，行星表面的重力加速度之比g_A：g_B=

8：1

．

Answer 1

分析：研究卫星绕行星匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求解．
忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．

解答：解：
人造地球卫星的万有引力充当向心力，即：
G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

①
体积为：
V=

4πR3

3

②
解得密度为：
ρ=

M

V

=

3π

GT2

故AB密度之比为：
ρA：ρB=12：42=1：16
忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：
G

Mm

R2

=mg③
由①③解得：
g=

4π2R

T2

所以两行星表面处重力加速度之比为：
gA：gB=

1

12

：

2

42

=8：1
故答案为：16：1；8：1

点评：求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．