Question

1．图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧．圆心分别为O₁、O₂，弯道中心线半径分别为r₁=10m，r₂=20m，弯道2比弯道1高h=12m，有一直道与两弯道圆弧相切，质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力及车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v₁；
（2）汽车以v₁进入直道，以P=30kW的恒定功率直线行驶了t=8.0s进入弯道2，此时速度恰好为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
（3）汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度用最短时间匀速安全通过弯道，设路宽d=10m，求此最短时间（A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点）．

Answer 1

分析 （1）汽车拐弯时靠静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大时，汽车的速度最大，根据牛顿第二定律求出汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v₁；
（2）同理求出汽车沿弯道2中心线行驶时的最大速度v₂，再研究汽车在直道上行驶的过程，运用动能定理求阻力对汽车做的功；
（3）当汽车沿着与弯道1内切的弧线运动时时间最短，且速度最大，根据几何关系求出该弧线的半径，结合运动学公式求最短时间．

解答 解：（1）当汽车所受的静摩擦力达到最大时，速度最大，根据牛顿第二定律得：
kmg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
可得汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度为：v₁=$\sqrt{kg{r}_{1}}$=$\sqrt{1.25×10×10}$=5$\sqrt{5}$m/s
（2）汽车沿弯道2的最大速度设为v₂．由牛顿第二定律得：
kmg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
代入数据解得：v₂=5$\sqrt{10}$m/s
汽车直道上行驶的过程，由动能定理得：
pt-mgh+W_阻=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据解得阻力对汽车做的功为：W_阻=-2.1×10⁴J
（3）用时最短时必须速度最大，且路程最短，即沿如图所示内切的路线行驶时时间最短．（黑色两端分别是A、B）
由图可得：r′²=${r}_{1}^{2}$+$[r′-（{r}_{1}-\frac{d}{2}）]^{2}$
代入数据解得：r′=12.5m
汽车沿该线路行驶的最大速度设为v′．则有：kmg=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
代入数据解得：v′=12.5m/s
由sinθ=$\frac{{r}_{1}}{r′}$=0.8
则对应的圆心角为：2θ=106°
线路的长度为：s=$\frac{106}{360}×2πr′$
解得：s=23.1m
所以最短时间为：t′=$\frac{s}{v′}$=$\frac{23.1}{12.5}$≈1.85s
答：（1）汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v₁是5$\sqrt{5}$m/s．
（2）直道上除重力以外的阻力对汽车做的功是-2.1×10⁴J．
（3）此最短时间是1.85s．

点评 解决本题的关键知道汽车拐弯时向心力的来源，结合牛顿第二定律求得汽车的最大速度，同时，要能灵活运用几何知识求得最短的线路长度．