Question

7．小船要在平直河道中渡到对岸，河宽为300m，水流速度是6m/s（假设河两边的流速与河中央的流速一样大），小船在静水中的航速是10m/s．（cos53°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）要使小船渡河时间最少，渡河最短时间为多少？
（2）要使小船渡河航程最短，小船船头方向与河岸上游的夹角为多少度？
（3）如果另一小船要在该河道渡河，该船在静水中的航速是4.8m/s，要使渡河航程最短，该小船船头方向与河岸上游的夹角为多少度？渡河最短航程为多少？

Answer 1

分析 （1）、船头始终垂直与河岸时，渡河时间最短，由运动学公式即可得知渡河的最短时间．
（2）、当船的合速度方向垂直于河岸时，船能垂直渡河，对船在静水中的速度进行正交分解，即可得知小船船头方向与河岸上游的夹角．
（3）、当船在静水中的速度要与合速度垂直时，合速度与河岸的夹角最大，此时渡河位移最短，由几何关系可得知小船船头方向与河岸上游的夹角及渡河最短航程．

解答 解：（1）、当船头始终垂直于河岸航行时，渡河时间最短．有：
t=$\frac{d}{{v}_{静}}$=$\frac{300}{10}$=30s
（2）、要使小船渡河航程最短，就是使得船的合速度垂直于河岸，此时，船在静水中的速度沿河岸的分量与水流的速度大小相等，方向相反，设小船船头方向与河岸上游的夹角为θ，如图1所示，有：
v_静cosθ=v_水
得：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{静}}$=$\frac{6}{10}$=0.6
得：θ=53°
（3）、另一小船要在该河道渡河，该船在静水中的航速是4.8m/s，要使渡河航程最短，船在静水中的速度要与合速度垂直，设此时小船船头方向与河岸上游的夹角为α，如图2所示，则有：
cosα=$\frac{{v}_{静}^{′}}{{v}_{水}}$=$\frac{4.8}{6}$=0.8
得：α=37°
由几何关系可得最短航程为：s=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{静}^{′}}$d=$\frac{6}{4.8}$×300=375m
答：（1）要使小船渡河时间最少，渡河最短时间为30s．
（2）要使小船渡河航程最短，小船船头方向与河岸上游的夹角为53°．
（3）如果另一小船要在该河道渡河，该船在静水中的航速是4.8m/s，要使渡河航程最短，该小船船头方向与河岸上游的夹角为37°，渡河最短航程为375m

点评 该题通过渡河的模型考察了运动的合成与分解，关于渡河问题，应注意几种渡河方式：
一是垂直渡河，此时渡河位移最短，但是所用时间不是最短的，此种情况要求船的合速度与河岸垂直，
二是船头始终指向对岸的渡河，此种情况下渡河时间最短，但是渡河位移不是最短；
关于渡河问题，还要会判断能否垂直渡河，其条件是船在静水中的速度大小要大于河水流动的速度大小．