Question

5．如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极（轨道可视为圆轨道），若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向（逆时针方向）第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R（地球可看做均匀球体），地球表面的重力加速度为g，不考虑地球的自转，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）该卫星距地面的高度h．

Answer 1

分析 1、根据地球表面重力等于万有引力求解地球的质量；
2、根据题意得出卫星周期，根据卫星运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供求解卫星距地面的高度．

解答 解：（1）已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向（逆时针方向）第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，
刚好为运动周期的$\frac{1}{4}$T，所以卫星运行的周期为4t，
根据地球表面重力等于万有引力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
（2）卫星运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，GM=gR²，
解得：h=$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球的质量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）该卫星距地面的高度是$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$-R．

点评 灵活运动用重力和万有引力相等以及万有引力提供圆周运动的向心力是解决本题的关键．