Question

3．设地球绕太阳近似作匀速圆周运动，已知轨道半径为R₀，公转周期约为T₀=365天；月球绕地球近似作匀速圆周运动，已知轨道半径为R，周期约为T=27.3天．另据勘测结果知道，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰．根据天文观测，月球半径R_月为1738km，地球半径R_地约为6400km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，已知此温度下水蒸气分子的平均速率达到v₀=2000m/s．已知万有引力常量为G，地球表面的重力加速度取g=10m/s²，则以下说法正确的是（　　）

• A． 根据开普勒第三定律知：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{{R}_{0}}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}}$
• B． 根据题给信息可知在月球表面暗面有冰，阳面有水
• C． 地心到月心之间的距离数量级为10¹⁰m
• D． 根据题给数据和符号可以计算出太阳、地球、月球的质量

Answer 1

分析 由万有引力做向心力得到水分子速度大于月球第一宇宙速度，进而得到月球表面无水；然后再由月球绕地球运动，万有引力做向心力得到地月距离；并根据星体表面万有引力即重力求得星体质量．

解答 解：A、开普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k只与中心天体有关；故对同一中心天体的不同卫星而言才有k相同，而月球运动的中心天体时地球，地球公转的中心天体是太阳，所以，k不同，故A错误；
B、取月球表面质量为m的某水分子，因为月球的第一宇宙速度$v=\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}=1700m/s＜{v}_{0}$，所以，这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水，故B错误；
C、月球绕地球做圆周运动，万有引力做向心力，即$\frac{G{M}_{地}{M}_{月}}{{r}^{2}}={M}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，所以，地心到月心之间的距离$r=\root{3}{\frac{G{M}_{地}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{g{{R}_{地}}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=3.86×10⁸m，故C错误；
D、由地球表面万有引力即重力$\frac{G{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=mg$可求得地球质量，同理可求得月球质量；再根据地球公转时万有引力做向心力$\frac{G{M}_{太}{M}_{地}}{{{R}_{0}}^{2}}={M}_{地}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}{R}_{0}$可求得太阳质量，故D正确；
故选：D．

点评 天体运动，卫星运动一般都是利用合外力为万有引力，然后根据向心力的变化得到运动状态的变化或由万有引力做向心力得到运动速度、周期等与半径的关系．