Question

8．如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和-Q，A、B相距为2d．MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，其质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球P从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球P向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g．求：
（1）C、O间的电势差U_CO；
（2）小球P在O点时的加速度大小以及小球P经过与点电荷B等高的D点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）对C到O段运用动能定理，求出C、O间的电势差，再求出C、D间的电势差U_CD．
（2）由点电荷的场强公式结合平行四边形定则求出O点的电场强度，由电场的对称性知，U_OD=U_CO，小球从O到D由动能定理求解

解答 解：（1）小球p由C运动到O的过程，由动能定理
得mgd+qU_CO=$\frac{1}{2}$mv²-0①
所以U_CO=$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-mgd}{q}$②
（2）小球p经过O点时受力如图

由库仑定律得F₁=F₂=k$\frac{Qq}{（\sqrt{2}d）_{\;}^{2}}$
它们的合力为
F=F₁cos 45°+F₂cos 45°=Eq③
所以O点处的电场强度E═$\frac{\sqrt{2}}{2}k\frac{Q}{{d}_{\;}^{2}}$．④
由牛顿第二定律得：mg+qE=ma⑤
所以a=g+$\frac{\sqrt{2}}{2}k\frac{Qq}{m{d}_{\;}^{2}}$⑥
小球p由O运动到D的过程，由动能定理得
mgd+qU_OD=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²⑦
由电场特点可知U_CO=U_OD⑧
联立①⑦⑧解得v_D=$\sqrt{2}$v
答：（1）C、O间的电势差${U}_{CO}^{\;}$为$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-mgd}{q}$；
（2）小球P在O点时的加速度大小为$（g+\frac{\sqrt{2}}{2}k\frac{Qq}{m{d}_{\;}^{2}}）$以及小球P经过与点电荷B等高的D点时的速度大小$\sqrt{2}v$

点评 本题关键要正确分析小球的受力情况，运用牛顿第二定律、动能定理处理力电综合问题，分析要知道O点的场强实际上是两点电荷在O点产生场强的合场强，等量异种电荷的电场具有对称性．