Question

10．随着我国登月计划的实施，我国宇航员在不久将登上月球．假如宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v₀竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）月球表面的重力加速度．
（2）月球的质量．
（3）在月球表面附近发射绕月球做匀速圆周运动的卫星的最小发射速度和运动周期．

Answer 1

分析 （1）（2）小球在月球表面做竖直上抛运动，由t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$出月球表面的重力加速度，物体在月球表面上时，由重力等于地月球的万有引力求出月球的质量．
（3）宇航员离开月球表面围绕月球做圆周运动至少应获得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小．
宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力求得绕行周期．

解答 解：（1）根据竖直上抛运动规律，有：v₀=$\frac{gt}{2}$
得：月球表面的重力加速度为：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$．
（2）由G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg解得月球的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$．
（3）由mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{Rg}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$　
此即在月球表面附近发射绕月球做匀速圆周运动的卫星的最小速度，
卫星的绕行周期为：T=$\frac{2πR}{v}$=π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度为$\frac{gt}{2}$．
（2）月球的质量$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$．
（3）在月球表面附近发射绕月球做匀速圆周运动的卫星的最小发射速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$，运动周期π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．重力加速度g是联系物体运动和天体运动的桥梁．