Question

质量为6000kg的汽车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r=120m的圆弧轨道转弯，已知路面的倾角为α=37°，试求：（g=10m/s²）
（1）速度v₀为多大时，斜面对汽车的摩擦力正好为零？
（2）当汽车的速度为60m/s时，斜面对汽车的支持力和摩擦力的大小各有多大？

Answer 1

分析：（1）斜面对汽车的摩擦力正好为零时，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解速度v₀．
（2）当汽车的速度为60m/s时，分析汽车的受力情况，运用正交分解法，由牛顿第二定律求解斜面对汽车的支持力和摩擦力的大小．

解答：解：（1）据题意，斜面对汽车的摩擦力正好为零时，由重力和路面的支持力的合力提供汽车所需要的向心力，如图1所示，则得：
mgtanα=m

v 2 0

r

得：v₀=

grtanα

=

10×120×tan37°

m/s=30m/s
（2）当汽车的速度为60m/s时，汽车的受力情况如图2所示，根据牛顿第二定律得：
水平方向有：fcosα+Nsinα=m

v2

r

竖直方向有：Ncosα=mg+fsinα
代入得：0.8f+0.6N=m

v2

r

          0.8N=mg+0.6f
解得：N=1.56×10⁵N，f=1.08×10⁵N
答：（1）速度v₀为30m/s时，斜面对汽车的摩擦力正好为零．
（2）当汽车的速度为60m/s时，斜面对汽车的支持力和摩擦力的大小各为1.56×10⁵N和1.08×10⁵N．

点评：通过分析受力情况，确定汽车向心力的来源是解决本题的关键．第1题是合成法，第2题是正交分解法都要熟练掌握．