Question

15．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G．关于四星系统，下列说法正确的是（　　）

• A． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
• B． 四颗星的线速度均为$\sqrt{\frac{Gm}{a}（2+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$
• C． 四颗星表面的重力加速度均为$\frac{Gm}{{R}^{2}}$
• D． 四颗星的周期均为2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$

Answer 1

分析 在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据合力提供向心力，求出星体匀速圆周运动的线速度和周期．
根据万有引力等于重力，求出星体表面的重力加速度．

解答 解：A、星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，故A正确．
B、星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}+\sqrt{2}\frac{G{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$
解得$v=\sqrt{\frac{Gm}{a}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$，故B错误；
C、根据万有引力等于重力，$\frac{Gmm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$，得$g=\frac{Gm}{{R}_{\;}^{2}}$，故C正确；
D、星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：$T=\frac{2π×\frac{\sqrt{2}a}{2}}{v}=\frac{\sqrt{2}πa}{\sqrt{\frac{Gm}{a}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}}$=$2π\sqrt{\frac{2{a}_{\;}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$=$2πa\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故D正确；
故选：ACD

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．