Question

7．如图甲所示，有一磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OP与水平方向夹角为θ=45°，紧靠磁场右上边界放置长为L、间距为d的平行金属板M、N，磁场边界上的O点与N板在同一水平面上，O₁、O₂为电场左右边界中点．在两板间存在如图乙所示的交变电场（取竖直向下为正方向）．某时刻从O点竖直向上以不同初速度同时发射两个相同的质量为m、电量为+q的粒子a和b．结果粒子a恰从O₁点水平进入板间电场运动，由电场中的O₂点射出；粒子b恰好从M板左端边缘水平进入电场．不计粒子重力和粒子间相互作用，电场周期T未知．求：

（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b；
（2）粒子a从O点进入磁场到O₂点射出电场运动的总时间t；
（3）如果金属板间交变电场的周期T=$\frac{4m}{qB}$，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，要使粒子b能够穿出板间电场时E₀满足的条件．

Answer 1

分析 （1）求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律可以求出粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b；
（2）求出粒子在磁场中、在电场中、在磁场外的运动时间，然后求出总运动时间；
（3）作出粒子在电场中的运动轨迹，应用类平抛运动规律分析答题．

解答 解：（1）根据题意，粒子a、b在磁场中受洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆心分别为O_a、O_b，作出其运动轨迹如图所示，粒子a从A点射出磁场．
由几何关系有：${r_a}=\frac{d}{2}$，r_b=d，

由牛顿第二定律有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：${v_a}=\frac{qBd}{2m}$，${v_b}=\frac{qBd}{m}$；
（2）设粒子a在磁场中运动时间为t₁，从A点到O₂点的运动时间为t₂，则：${t_1}=\frac{T_a}{4}$，${T_a}=\frac{2πm}{qB}$，
${t_2}=\frac{{（{r_b}-{r_a}）+L}}{v_a}$，t=t₁+t₂，
解得：$t=\frac{πm}{2qB}+\frac{m（L+2d）}{qBd}$．
（3）由题意知粒子a飞出磁场时速度沿水平方向，在电场中运动的时间为交变电压周期的n倍，则对粒子b，有：${t_b}=\frac{v_a}{v_b}（nT）$，
水平方向做匀速直线运动：L=v_bt_b，
竖直方向在电场力作用下做加速、减速交替的匀变速运动（0→$\frac{T}{2}$，向下做初速度为0的匀加速运动，向下发生位移为x₁；$\frac{T}{2}$→T，向下做匀减速运动至速度为0，向下发生位移为x₂…），则：${x_1}=\frac{1}{2}（\frac{{q{E_0}}}{m}）{（\frac{T}{2}）^2}$，${x_2}=\frac{1}{2}（\frac{{q{E_0}}}{m}•\frac{T}{2}）（\frac{T}{2}）={x_1}$，
…x_n=x₁，
粒子b要飞出电场有：（x₁+x₂+…+x_n）≤d，
解得：${E_0}≤\frac{{q{B^2}{d^2}}}{mL}$．
答：（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a为$\frac{qBd}{2m}$、v_b为$\frac{qBd}{m}$；
（2）粒子a从O点进入磁场到O₂点射出电场运动的总时间t为$\frac{πm}{2qB}+\frac{m（L+2d）}{qBd}$；
（3）如果金属板间交变电场的周期T=$\frac{4m}{qB}$，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，要使粒子b能够穿出板间电场时E₀满足的条件${E_0}≤\frac{{q{B^2}{d^2}}}{mL}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用牛顿第二定律、粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式、运动学公式即可正确解题，难度较大．