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15.如图甲所示,空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.让质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面入射.不计粒子重力,重力加速度为g.
(1)若该粒子沿y轴负方向入射后,恰好能经过x轴上的A(a,0)点,求粒子速度v0的大小.
(2)若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时,一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出,二者经过时t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇,求小球抛出点的纵坐标.
(3)如图乙所示,在此空间再加入沿y轴负方向、大小为E的匀强电场,让该粒子改为从O点静止释放,研究表明:粒子在xOy平面内将做周期性运动,其周期T=$\frac{2πm}{qB}$,且在任一时刻,粒子速度的水平分量vx与其所在位置的y轴坐标绝对值的关系为vx=$\frac{qB}{m}$y.若在粒子释放的同时,另有一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出,二者经过时间t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇,求小球抛出点的纵坐标.

分析 (1)根据题意求出半径,根据圆周运动公式就出粒子的速度;
(2)根据相遇时间,流出粒子运动轨迹所对的圆心角,根据几何知识求出此时粒子的坐标;
(3)根据动能定理求出此时粒子在竖直方向的位移,再求出竖直方向总位移,最后求出小球抛出点的纵坐标.

解答 解:(1)由题意可知,粒子做匀速圆周运动的半径r1,有${r}_{1}=\frac{a}{2}$,
洛伦兹力提供向心力,有$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{o}}^{2}}{{r}_{1}}$,
解得:${v_0}=\frac{qBa}{2m}$,
(2)洛伦兹力提供向心力,又有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$,
解得${r}_{2}=\frac{mv}{qB}$,
粒子做匀速圆周运动的周期T,有$T=\frac{2πm}{qB}$,
则相遇时间为$t=\frac{5πm}{6qB}=\frac{5}{12}T$,
在这段时间内粒子转动的圆心角θ,有θ=150°,
如图3所示,相遇点的纵坐标绝对值为${r}_{2}sin30°=\frac{mv}{2qB}$.

小球抛出点的纵坐标为$y=\frac{1}{2}g(\frac{5πm}{6qB})^{2}-\frac{mv}{2qB}$.
(3)相遇时${t}^{'}=\frac{3πm}{qB}=\frac{3}{2}T$,
由对称性可知相遇点在第二个周期运动的最低点
设粒子运动到最低点时,离x轴的距离ym,水平速度为vx
由动能定理,有$qE{y}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}$,
联立解得:${y}_{m}=\frac{2mE}{q{B}^{2}}$,
故小球抛出点的纵坐标为$y=\frac{1}{2}g(\frac{3πm}{qB})^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$.
答:(1)若该粒子沿y轴负方向入射后,恰好能经过x轴上的A(a,0)点,求粒子速度v0的大小为$\frac{qBa}{2m}$.
(2)若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时,一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出,二者经过时t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇,求小球抛出点的纵坐标$\frac{1}{2}g(\frac{5πm}{6qB})^{2}-\frac{mv}{2qB}$.
(3)如图乙所示,在此空间再加入沿y轴负方向、大小为E的匀强电场,让该粒子改为从O点静止释放,研究表明:粒子在xOy平面内将做周期性运动,其周期T=$\frac{2πm}{qB}$,且在任一时刻,粒子速度的水平分量vx与其所在位置的y轴坐标绝对值的关系为vx=$\frac{qB}{m}$y.若在粒子释放的同时,另有一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出,二者经过时间t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇,求小球抛出点的纵坐标为$\frac{1}{2}g(\frac{3πm}{qB})^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$.

点评 本题考查了带点粒子在复合场中的运动,过程较复杂,关键理清粒子的运动轨迹,结合动能定理,洛伦兹力和电场力知识进行解决.粒子在磁场中运动时,关键要根据时间和周期的关系确定圆心角.

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