Question

（12分）一根内径均匀，一端封闭，另一端开口的直玻璃管，长l=100cm，用一段长h=25cm的水银柱将一部分空气封在管内，将其开口朝上竖直放置，被封住的气柱长l₀=62.5cm。这时外部的大气压p₀=75cmHg,环境温度t₀=－23℃，见下图，现在使气柱温度缓慢地逐渐升高，外界大气压保持不变，试分析为保持管内被封气体具有稳定的气柱长，温度能升高的最大值，并求出这个温度下气柱的长。

Answer 1

解析：

这是一个关于气体在状态变化过程中，状态参量存在极值的问题，首先，对过程进行分析，当管内气体温度逐渐升高时，管内气体体积要逐渐增大，气体压强不变，pV值在增大。当上水银面升到管口时，水银开始从管内排出，因为=C，当管内水银开始排出后，空气柱体积增大，而压强减小，若pV值增大，则温度T继续升高，当pV值最大时温度最高。如果温度再升高不再满足=C，管内气体将不能保持稳定长度。

选取封闭气体为研究对象，在温度升高过程中，可分成两个过程研究。

第一过程：从气体开始升温到水银升到管口，此时气体温度为T，管的横截面积为S，此过程为等压过程，根据盖?吕萨克定律有：

=所以T=T₀

其中：T₀=t₀+273=250K  l′=75cm  l₀=62.5cm。

代入数据解得T=300（K）

第二过程，温度达到300K时，若继续升温，水银开始溢出，设当温度升高到T′时，因水银溢出使水银减短了x，此过程气体的三个状态参量p、V、T均发生了变化。p₁=p₀+h=75+25=100（cmHg）  V₁=l′s=7.5S

T₁=300K

p₂=（p₀+h－x）=（100－x）cmHg  V₂=（75+x）S

T₂=?

根据状态方程=则有

=

所以T₂=（100－x）（75+x）=－x₂+x+300

根据数学知识得  当x=12.5m时  T₂取得最大值，且最大值T_2max=306.25K即当管内气体温度升高到T_2max=33.25℃时，管内气柱长为87.5cm。