Question

19．边长为a的单匝正方形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，以一条边MN为轴匀速转动，角速度为ω，转动轴与磁场方向垂直，若线圈电电阻为R，从转轴所在的边接出两条导线并串联一阻值也为R的电阻，如图所示，电压表为理想电表，求：
（1）开头断开时电压表示数；
（2）从图示位置开始计时并闭合开关，t=$\frac{π}{4ω}$时电压表的示数；
（3）从图示位置开始计时并闭合开关，线圈平面转过90°角的过程中流过电阻R的电荷量．

Answer 1

分析 （1）感应电动势最大值为：E_m=BSω，是图中最左侧的边切割磁感线产生；根据E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$求解有效值；根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；
（2）电压表测量是电压的有效值，不变；
（3）图中最左侧的边是电源，最右侧边的电阻和外电阻是并联关系，根据法拉第电磁感应定律列式求解感应电动势的平均值，然后根据闭合电路欧姆定律求解电流的平均值，即可进一步求解电量．

解答 解：（1）感应电动势最大值为：E_m=BSω=BL²ω；
感应电动势的有效值为：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}B{L}^{2}ω$；
开关断开时，电压表读数为：U=$\frac{0.25R}{0.75R+0.25R}E$=$\frac{\sqrt{2}}{8}B{L}^{2}ω$；
（2）电压表的示数是电压有效值，一直为$\frac{3\sqrt{2}}{8}B{L}^{2}ω$；
（3）从图示位置开始计时并闭合开关，线圈转动90°过程中，通过图中最左侧的边的电荷量为：
q=$\overline{I}t$
图中最左侧的边是电源，最右侧边的电阻和外电阻R是并联关系，故：
$\overline{E}$=$\frac{△∅}{r+{R}_{外}}=\frac{B{L}^{2}}{r+{R}_{外}}$
r=0.75R
R_外=$\frac{\frac{R}{4}•R}{\frac{R}{4}+R}$=$\frac{R}{5}$
联立解得：
q=$\frac{20B{L}^{2}}{19R}$
故流过电阻R的电荷量：
${q}_{R}=\frac{0.25R}{0.25R+R}q$=$\frac{4B{L}^{2}}{19R}$
答：（1）开头断开时电压表示数为$\frac{\sqrt{2}}{8}B{L}^{2}ω$；
（2）从图示位置开始计时并闭合开关，t=$\frac{π}{4ω}$时电压表的示数为$\frac{3\sqrt{2}}{8}B{L}^{2}ω$；
（3）从图示位置开始计时并闭合开关，线圈平面转过90°角的过程中流过电阻R的电荷量为$\frac{4B{L}^{2}}{19R}$．

点评 本题考查了交流四值，关键是明确电路的结构，知道电压表读数为有效值，计算电量用平均值，不难．