Question

8．如图所示平面直角坐标系xOy，在第一象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向，电场强度大小为E；在第四象限以ON为直径的半圆形区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向外，一质量为m、带正电的粒子（不计粒子重力），从OM=h处的M点，以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上OP=2h处的P点进入磁场，粒子在磁场中运动的轨道半径为r，以垂直于y轴的方向射出磁场．求：
（1）粒子所带的电荷量q；
（2）磁感应强度B及粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据类平抛运动的水平分位移公式和竖直分位移公式以及牛顿第二定律列式求解；
（2）对圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力列式求解出轨道半径．根据圆心角求解时间．

解答 解：（1）类似平抛运动速度偏转角的正切：tanθ=2tanα=2×$\frac{y}{x}$=1，
故θ=45°；
故粒子的运动轨迹如右图所示；
设粒子在电场中运动的时间为t₁
x方向：2h=v₀t₁
y方向：h=$\frac{1}{2}$at₁²
根据牛顿第二定律：Eq=ma
联立以上三式，解得：q=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2Eh}$
（2）类平抛运动过程，根据动能定理：Eqh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
将q的表达式代入上式，得：v=$\sqrt{2}$v₀
由：Bqv=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{2\sqrt{2}Eh}{{v}_{0}r}$；
粒子在磁场中的转动周期T=$\frac{2πm}{Bq}=\frac{\sqrt{2}πr}{{v}_{0}}$；
由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角为135°；
粒子在磁场中的转动时间t=$\frac{135°}{360°}T=\frac{3\sqrt{2}πr}{{8v}_{0}}$．
答：（1）粒子所带的电荷量$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2Eh}$；
（2）磁感应强度为$\frac{2\sqrt{2}Eh}{{v}_{0}r}$，粒子在磁场中的转动时间为$\frac{3\sqrt{2}πr}{{8v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，要注意掌握类平抛运动和圆周运动的分析方法，明确几何关系的应用．