Question

4．如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B．现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连．已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f_m．试分析角速度ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，
（1）ω满足什么条件时，绳中将出现张力？
（2）ω满足什么条件时，A所受的摩擦力为零？
（3）ω满足什么条件时，A、B将一起滑动？

Answer 1

分析 角速度从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力，当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现张力；绳子出现张力后，角速度增大，张力增大，A球所受的摩擦力减小，当张力达到一定程度时，A球摩擦力反向；当A球摩擦力反向后达到最大静摩擦力时，两球相对轴滑动．

解答 解：（1）由于ω从零开始逐渐增大，当ω较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力．
A球：${f_A}=m{ω^2}r$
B球：${f_B}=m{ω^2}•2r$
随ω增大，静摩擦力不断增大，且B球需要的摩擦力比A大．设绳中出现张力的角速度为ω₁，由牛顿第二定律有：
$\begin{array}{l}{f_m}+F=mω_1^22r\\ F＞0\end{array}$
得${ω_1}＞\sqrt{\frac{f_m}{2mr}}$
（2）若角速度ω继续增大，则有
A球：${f_A}+F=m{ω^2}r$
B球：${f_m}+F=m{ω^2}•2r$
由B球可知：当角速度由ω增至ω'时，绳上张力将增加△F△F=m•2r（ω'²-ω²）．
对于A球应有$mr（{ω'^2}-{ω^2}）=△{f_A}+△F=△{f_A}+m•2r（{ω'^2}-{ω^2}）$可见△f_A＜0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小，直至角速度为ω₂时，f_A=0．
A球：$F=mω_2^2r$
B球：$F+{f_m}=mω_2^2•2r$
解得：${ω_2}=\sqrt{\frac{f_m}{mr}}$
（3）当角速度从ω₂继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直至f_A=f_m为止．设此时角速度为ω₃，并有
A球：$F-{f_m}=mω_3^2r$；
B球：$F+{f_m}=mω_3^2•2r$
解得：${ω_3}=\sqrt{\frac{{2{f_m}}}{mr}}$
所以，当${ω_3}＞\sqrt{\frac{{2{f_m}}}{mr}}$时，A和B将一起向B一侧甩出．
答：（1）ω满足${ω}_{\;}＞\sqrt{\frac{{f}_{m}}{2mr}}$时，绳中将出现张力；
（2）ω满足${ω}_{\;}=\sqrt{\frac{{f}_{m}}{mr}}$时，A所受的摩擦力为零；
（3）ω满足${ω}_{\;}＞\sqrt{\frac{2{f}_{m}}{mr}}$时，A、B将一起滑动．

点评 解决本题的关键理清A、B球做圆周运动向心力的来源，以及能够通过A、B两球向心力的变化判断出小球受力的变化．