如图所示.竖直固定的轨道内有一劲度系数为k的轻质弹簧.弹簧下端固定在水平地面上．质量为m的物体可沿轨道上.下运动.物体与轨道间的最大摩擦力和动摩擦力大小都为f=$\frac{mg}{4}$．已知弹簧弹性势能EP=$\frac{1}{2}$kx2.式中k为弹簧的劲度系数.x为弹簧的形变量(即弹簧伸长或缩短的长度).弹簧始终处于弹性限度内.重力加� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图所示，竖直固定的轨道内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定在水平地面上．质量为m的物体可沿轨道上、下运动，物体与轨道间的最大摩擦力和动摩擦力大小都为f=$\frac{mg}{4}$．已知弹簧弹性势能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量（即弹簧伸长或缩短的长度），弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，物体在距离弹簧为H的高度从静止下落．试求：
（1）物体从静止开始下落到刚与弹簧接触所经历的时间t；
（2）物体到达最低位置时，求弹簧的最大形变量x；
（3）物体到达最低位置后能否回弹？若不能，请说明理由；若能，请求出从最低位置第一次回弹
的高度h．

分析（1）小球开始时做匀加速直线运动，由位移公式即可求出下落的时间；
（2）小球接触弹簧开始，合力向下，向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，然后合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，运动到最低点时，速度为零，根据功能关系即可求出弹簧的最大形变量x．
（3）根据受力分析判定小球能否回弹．由功能关系可求得回弹的高度．

解答解：（1）由牛顿第二定律得：mg-f=ma，
运动学公式H=$\frac{1}{2}$at²
解得：t=2$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$
（2）物体从静止开始下落第一次到达最低位置过程，有：
（mg-f）（H+x）=$\frac{1}{2}$kx²
解得：x=$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
（3）物体下落停止后，回弹条件为kx＞mg+f
即需要x＞$\frac{5mg}{4k}$
而x=$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$＞$\frac{6mg}{4k}$说明物体能回弹
回弹有两种可能性：
①物体回弹至速度为零时，弹簧仍压缩x'，有：
$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$kx'²+（mg+f）（x-x'）
解得：x'=$\frac{{7mg-\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
而x'≥0，即需要满足k≤$\frac{5mg}{3H}$
①当k≤$\frac{5mg}{3H}$时，回弹高度h₁=x-x'=$\frac{{\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}-2mg}}{2k}$
②当k＞$\frac{5mg}{3H}$时，物体将脱离弹簧，设物体能上升到距弹簧自由端△h处
由能量关系得$\frac{1}{2}$kx²=（mg+f）（x+△h）
h₂=x+△h h₂=$\frac{3}{5}$（H+x）
h₂=$\frac{3}{5}$（H+$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$）
讨论当k=$\frac{5mg}{3H}$时，h₁=$\frac{3H}{2}$；当k→∞时，h₂→$\frac{3H}{5}$
答：（1）物体从静止开始下落到刚与弹簧接触所经历的时间t为2$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$；
（2）物体到达最低位置时，求弹簧的最大形变量x为$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
（3）能回弹；①当k≤$\frac{5mg}{3H}$时，回弹高度h₁=$\frac{{\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}-2mg}}{2k}$
②讨论当k=$\frac{5mg}{3H}$时，h₁=$\frac{3H}{2}$；当k→∞时，h₂→$\frac{3H}{5}$

点评解决本题的关键知道根据合力的大小和方向可知加速度的大小和方向，以及知道加速度与速度同向，速度增加，加速度与速度反向，速度减小．

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