Question

20．半径为R的光滑圆环竖直放置，环的圆心为O，环上套有两个质量分别为m和$\sqrt{3}$m的小球A和B．AB之间用一长为$\sqrt{2}$R的轻杆相连，如图所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：
（1）B球到达最低点时的速度大小；
（2）B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；
（3）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点时，OB与竖直方向的夹角．

Answer 1

分析 （1）把AB看成一个系统，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒，根据机械能守恒定律即可求解B球到达最低点时的速度大小；
（2）对A球，运用动能定理即可求解杆对A球做的功；
（3）设B球到右侧最高点时，AB与竖直方向夹角为θ，圆环圆心处为零势能面．系统机械能守恒，根据机械能守恒定律即可求解θ．

解答 解：（1）对于AB组成系统，从释放到B到达最低点的过程，由系统的机械能守恒得：
  mgR+$\sqrt{3}$mgR=$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$m）v_B²
得，v_B=$\sqrt{2gR}$
（2）B球到达最低点的过程中，对A球，根据动能定理得：
  mgR+W=$\frac{1}{2}$mv_B²
而v_B=$\sqrt{2gR}$
解得，杆对A球做的功  W=0；
（3）设B球到右侧最高点时，AB与竖直方向夹角为θ，如图，圆环圆心处为零势能面．

系统机械能守恒，mgR=$\sqrt{3}$mgRcosθ-mgRsinθ
代入数据得，θ=30°
所以B球在圆环右侧区域内能达到的最高点与竖直方向夹角为30°；
答：
（1）B球到达最低点时的速度大小是$\sqrt{2gR}$．
（2）B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功是0．      
（3）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点时，OB与竖直方向的夹角为30°．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律以及动能定理的直接应用，要求同学们能选取适当的研究对象，要知道系统的机械能是守恒的，但单个小球的机械能并不守恒．