Question

15．如图所示，在xOy平面内，第二象限中有匀强电场，方向沿y轴正方向，在第四象限有匀强磁场，方向垂直于xOy平面问外．今有一个质量为m，电量为e的电子（不计重力），从y轴上的P（0，L）点以垂直于y轴、大小为v₀的初速度射入电场，经电场偏转后从x轴上的Q（-2L，0）点进入磁场，并能返回到出发点P．求：
（1）电场强度的大小；
（2）磁感应强度的大小；
（3）若电场和磁场均不变，要使电子在磁场中经历一段圆弧后从O点射出磁场，则电子仍从P点垂直于y轴射入电场时的初速度应为多大？

Answer 1

分析 （1）电子在电场做做类平抛运动，应用类平抛运动规律与动能定理求出h；
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，应用牛顿第二定律可以求出B；
（3）求出电子在电场、磁场、第二象限中的运动时间，然后求出电子总的运动时间．

解答 解：（1） 电子射入电场后做类平抛运动，竖直方向有：
L=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t}^{2}$
水平方向有：
2L=v₀t
联立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$
（2）电子进入磁场时的竖直分速度为：v_y=$\frac{eE}{m}t$=v₀；
所以进入磁场时的合速度为：v_Q=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向与x轴负方向成45°角（如图）．
电子离开磁场后沿直线运动经P点，所以其轨迹如图所示，由几何知识知，电子在磁场中做圆周运动的半径为：r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}L$
由ev_QB=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
可得 B=$\frac{2m{v}_{0}}{3eL}$
（3）当电子以速度v_Q′进入磁场时速度与x轴负向间的夹角设为θ，则
  v_Q′=$\frac{{v}_{y}}{sinθ}$=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
电子运动半径为r′，则有 ev_Q′B=m$\frac{v{′}_{Q}^{2}}{r}$
射入点与射出点的距离 d=2r′•sinθ
由以上各式得：d=3L
可见射入磁场的点和射出磁场的点之间的距离 d与初速度大小无关，所以要使电子经过O点，射入磁场的点距O点的距离应为 d=3L，故其初速度应为
  v′₀=$\frac{3L}{t}$=3L$•\frac{{v}_{0}}{2L}$=$\frac{3}{2}{v}_{0}$
答：（1）电场强度的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$；
（2）磁感应强度的大小是$\frac{2m{v}_{0}}{3eL}$；
（3）电子仍从P点垂直于y轴射入电场时的初速度应为$\frac{3}{2}{v}_{0}$．

点评 电子在电场中做类平抛运动的研究方法是运动的分解，而磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹，都常用的思路．