Question

在游乐节目中，选手需要于借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小舒和小程观看后对此进行了讨论．如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角α=53，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m．（不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
（2）若绳长l=2m，选手摆到最高点时松手落入手中．设水对选手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求选手落入水中的深度d；
（3）若选手摆到最低点时松手，小舒认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小程认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点．

Answer 1

分析：（1）、在摆动过程中，机械能是守恒的，应用机械能守恒定律求出运动到最低点时的速度．再用牛顿运动定律结合圆周运动的向心力求出绳子对选手的拉力，最后用牛顿第三定律求出选手对绳子的拉力．
（2）、对从选手开始下落，到进入水后速度为零的过程中，由贯穿整个过程的重力做正功，进入水后，浮力和阻力最选手做负功，选手初末状态的动能都为零，用动能定理列式，求出落入水中的深度．
（3）、对平抛运动沿水平和竖直两个方向进行分解，水平方向上是匀速直线运动，竖直方向上时自由落体运动，分别列出位移式子，联立后进行数学分析，得出当l=1.5m时，水平方向由最大值．

解答：解：
（1）选手摆到最低点的过程中，机械能守恒，有：
 mgl(1-cosα)=

1

2

mv2…①
选手摆到过程中，做圆周运动，设绳子对选手的拉力为F^′，则在最低点时有：
F′-mg=m

v2

l

…②
①②两式联立，解得：
F′=（3-2cosα）mg=1080N
人对绳的拉力与绳对人的拉力是作用力与反作用力的关系，所以有：F=F′
则F=1080N
（2）、对选手开始下落到在水中速度为零整个过程进行分析，重力、浮力和阻力分别做功，设进入水的深度为d，由动能定理有：
mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0
则有：d=

mg(H-lcosα)

f1+ f2-mg

代入数据解得：d=1.2m
（3）、选手从最低点开始做平抛运动
水平方向上有：x=vt
竖直方向上有：H-l=

1

2

gt2
以上两式联立解得：x=2

l(H-l)(1-cosα)

当l=

H

2

时，x有最大值，解得l=1.5m
因此，两人的看法均不正确．当绳长越接近1.5m时，落点距岸边越远．
答：（1）求选手摆到最低点时对绳拉力为1080N．
（2）选手落入水中的深度为1.2m
（3）当l=1.5m时，在浮台上的落点距岸边最远．

点评：此题为2010年江苏卷，考查到了机械能守恒，圆周运动向心力，动能定理，平抛运动规律及求极值问题．
解答第一问时，一定注意要求的是选手对绳子的拉力．解题过程中是对选手进行受力分析的，故不要忘记应用牛顿第三定律．应用动能定理解答第二问时，要注意，重力做功贯穿整个过程，而浮力和阻力做功只是在水中时．关于物理当中的极值问题，要会熟练的对式子进行数学分析，从而得出结论．