Question

15．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点，经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的创新后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族，这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测，若卡西尼号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高度h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t．计算土星的质量和平均密度．（万有引力常量为G）

Answer 1

分析 探测器绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，求出探测器运行的周期．由土星的万有引力提供探测器的向心力列方程求出土星的质量，由密度公式求出土星的平均密度．

解答 解：由 $\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
又T=$\frac{t}{n}$
得：$M=\frac{{4{π^2}{n^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{t^2}}}$
由 $ρ=\frac{M}{V}$，V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
得：$ρ=\frac{{3π{n^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{t^2}{R^3}}}$
答：土星的质量为$M=\frac{{4{π^2}{n^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{t^2}}}$，平均密度为$ρ=\frac{{3π{n^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{t^2}{R^3}}}$．

点评 本题题目看似很长，要耐心读题，抓住要点，建立物理模型：探测器绕土星做匀速圆周运动，土星的万有引力提供向心力．