Question

（2011?北京）静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ₀和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为-A（0＜A＜qφ₀）．忽略重力．求：
（1）粒子所受电场力的大小；
（2）粒子的运动区间；
（3）粒子的运动周期．

Answer 1

分析：（1）由图可知，电势随x均匀变化，则可知电场为匀强电场，由电势差与电场强度的关系可求得电场强度，即可求得电场力；
（2）由题意可知，动能与电势能之和保持不变，设出运动区间为[-x，x]，由题意可知x处的电势，则由数学关系可求得x值；
（3）粒子在区间内做周期性变化，且从最远点到O点时做匀变速直线运动，则由运动学规律可求得周期．

解答：解：（1）由图可知，0与d（或-d）两点间的电势差为φ₀
电场强度的大小    E=

φ0

d

电场力的大小      F=qE=

qφ0

d

．
（2）设粒子在[-x，x]区间内运动，速率为v，由题意得

1

2

mv2-qφ=-A
由图可知          φ=φ0(1-

|x|

d

)
由①②得          

1

2

mv2=qφ0(1-

|x|

d

)-A
因动能非负，有    qφ0(1-

|x|

d

)-A≥0
得                |x|≤d(1-

A

qφ0

)
即                 x =d(1-

A

qφ0

)
粒子运动区间-d(1-

A

qφ0

)≤x≤d(1-

A

qφ0

)．
（3）考虑粒子从-x₀处开始运动的四分之一周期
根据牛顿第二定律，粒子的加速度   a=

F

m

=

Eq

m

=

qφ0

md

由匀加速直线运动      t=

2x0 a

将④⑤代入，得        t=

2md2 qφ0 (1- A qφ0 )

粒子运动周期          T=4t=

4d

qφ0

2m(qφ0-A)

．

点评：本题难度较大，要求学生能从题干中找出可用的信息，同时能从图象中判断出电场的性质；并能灵活应用功能关系结合数学知识求解，故对学生的要求较高．