Question

如图9所示，将质量m_A＝100 g的平台A连接在劲度系数k＝200 N/m的弹簧上端，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置m_B＝m_A的物块B，使A、B一起上下振动．若弹簧原长为5 cm，求：

图9

(1)当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面C的高度；

(2)当振幅为0.5 cm时，B对A的最大压力；

(3)为使B在振动中始终与A接触，振幅不得超过多少？

 

Answer 1

【答案】

(1)4 cm　(2)1.5 N　(3)1 cm

【解析】(1)将A与B整体作为振子，当A、B处于平衡位置时，根据平衡条件得

kx₀＝(m_A＋m_B)g

解得弹簧形变量

m

＝0.01 m＝1 cm

平衡位置距地面高度

h＝l₀－x₀＝（5－1）cm＝4 cm

(2)已知A、B一起振动的振幅A＝0.5 cm，当A、B振动到最低点位置时，加速度最大，其值为

m/s²＝5 m/s²

方向竖直向上．

取B物块为研究对象，B受重力m_Bg、A对B的支持力F_N，其合外力为F＝F_N－m_Bg，

根据牛顿第二定律得F_N－m_Bg＝m_Ba_m

解得F_N＝m_Bg＋m_Ba_m＝m_B(g＋a_m)

＝0.1×(10＋5) N＝1.5 N

根据牛顿第三定律，B对A的最大压力大小为

F_N′＝F_N＝1.5 N.

(3)取B为研究对象，当B振动到最高点时受重力m_Bg和A对B的支持力F_N1，其合力为B的回复力

即F_回＝m_Bg－F_N1.

根据牛顿第二定律得m_Bg－F_N1＝m_Ba

当F_N1＝0时，B振动的加速度达到最大值，其最大值为a_m′＝g＝10 m/s²

取A与B整体为研究对象，受到的最大回复力为

F_回m＝kA′＝(m_A＋m_B)a_m′

则振动系统的振幅为m

＝0.01 m＝1 cm

当振幅A′>1 cm时，B与A将分离，为使B在振动中始终与A接触，振动系统的振幅A′≤1 cm.

思路分析： 本题的2问中最大压力应该分析出在最低点，此时对研究对象而言，处于超重状态，压力自然大；3问中属于临界条件的分析，分离的表现就是A、B接触但是它们之间的弹力为零。

试题点评：此题属于一个较难的问题，主要是涉及到最值和临界问题的分析，特别是第3问学生不易分析出正确结果。