Question

如图所示，倾斜粗糙轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连，小球可以从D进入该轨道，沿圆轨道内侧运动．小球从A点静止释放，已知AB长为5R，光滑水平轨道CD足够长，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.5R，小球与斜轨AB间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）a球滑到C点时的速度Vc；
（2）要使小球在运动过程中不脱离竖直圆轨道，求圆轨道的半径R’应该满足的条件．

Answer 1

分析：（1）a球从A运动至C过程，由动能定理列出等式，计算小球到达C点的速度
（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．

解答：解：（1）A→C过程：
mg（5Rsin37°+1.5R）-μmg?5Rcos37°=

1

2

mv_c²
解得：v_c=

5gR

（2）情况一：小球恰好做完整的圆周运动，
最高点：mg=m

v2

R1

C→最高点：-mg2R₁=

1

2

mv²-

1

2

mv_c²
解得：R₁=R
故当R′≤R时，小球不会脱离圆轨道
情况二：小球恰能到达圆心等高处：
-mgR₂=0-

1

2

mv_c²
解得：R₂=2.5R
故当：R′≥2.5R时小球亦不脱离圆轨道．
答：（1）a球滑到C点时的速度Vc为

5gR

；
（2）要使小球在运动过程中不脱离竖直圆轨道，圆轨道的半径R’应该满足的条件：R′≤R或R′≥2.5R．

点评：此题要求熟练掌握动能定理、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．