Question

16．如图甲所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示，g取10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？
（3）若小球在最低点B的速度为20m/s，两轨道间高度差x变为第二问中最大值的一半，在小球运动到A点时，小球对轨道的压力是多大？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒及分别对A点和B点由向心力公式可求得压力差与距离x的关系式，则可由图象的截距求得物体的质量；
（2）由图象的斜率可求得光滑圆轨道的半径，由机械能守恒定律及竖直面内的圆周运动临界值可求得x的最大值；
（3）从B到A，由机械能守恒定律求出小球到达A点的速度，在A点，由牛顿第二定律、第三定律结合求得小球对轨道的压力．

解答 解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$mv_B²=mg（2R+x）+$\frac{1}{2}$mv_A² ①
根据牛顿第二定律得
对B点：F_N1-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ②
对A点：F_N2+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ ③
由①②③式得两点压力差△F_N=F_N1-F_N2=6mg+$\frac{2mgx}{R}$ ④
由图象得截距 6mg=3，解得 m=0.05 kg ⑤
（2）因为图线的斜率 k=$\frac{2mg}{R}$=1，解得R=1m ⑥
在A点不脱离的条件为：v_A≥$\sqrt{Rg}$⑦由①⑤⑥⑦式得：x≤17.5 m．
所以为使小球能沿轨道运动，x最大值为17.5m．
（3）从B到A，由机械能守恒定律可得：
  $\frac{1}{2}$mv_B²=mg（2R+$\frac{1}{2}$x）+$\frac{1}{2}$mv_A²
在A点，有牛顿第二定律可得：
  F_N+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律可得：
  F_N′=F_N=8.75N
答：
（1）小球的质量为0.05 kg．
（2）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x最大值为17.5m．
（3）在小球运动到A点时，小球对轨道的压力是8.75N．

点评 本题采用函数法研究图象的物理意义，关键要能根据机械能守恒定律和向心力公式得到压力差的解析式．此类题型为常见题型，应熟练掌握．