Question

河宽d=600m，河水速度v₁=10.8km/s，小船在静水中的速度v₂=18km/h，试求：
（1）若要小船以最短时间过河，开船方向怎样？最短时间为多少？
（2）若要小船以最短距离过河，开船方向怎样（即船头与河岸上游或下游夹角）？最小位移为多大？（结果可用三角函数表示，若有根式，可化简后保留）

Answer 1

分析：船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答：解：河水速度v₁=10.8km/h=3m/s，小船在静水中的速度v₂=18km/h=5m/s；
（1）当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，则知：t_min=

d

vc

=

600

5

s=120s；
 开船方向：船头垂直于河岸渡河；
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，设与河岸的夹角为θ，
 则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得：cosθ=

vs

vc

=

3

5

，
这时船头与河水速度夹角为θ=53°；
渡河时间为t=

d

v合

=

600

4

s=150s；
而最小位移即为河宽，600m．
答：（1）船头垂直于河岸渡河；小船过河的最短时间为120s；（2）要小船以最短距离过河，开船方向与河水上游方向夹角为53°，最短位移600m．

点评：小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．