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    4．如图所示，BC是一段光滑圆轨道，DE为半圆形光滑轨道，两圆弧轨道半径均为R，固定于竖直平面内，一滑板板长l=6.5R，静止在光滑的底面上，右端紧靠C点，板左端到D点的距离L在R＜L＜5R范围内取值，上表面所在平面与两圆弧分别相切于C，D两点，一质量为m的物块以v0=2$\sqrt{2gR}$的初速度由B点沿BC圆弧轨道滑下，再经C点滑上滑板，滑板运动到D点时被牢固粘连，若滑板质量M=2m，BC间的高度h=$\frac{R}{2}$，物块与滑板间的动摩擦因数为为μ=0.5，重力加速度取g，求：（结果用字母m、g、R、L表示）

    （1）求物块滑到C点时所受圆弧轨道的支持力的大小；
    （2）试讨论物块从滑上滑板到离开左端的过程中，克服摩擦力做的功Wf与L的关系；并判断物块能否滑到DE轨道的中点．

    分析 （1）先由动能定理求出物块滑到C点时的速度．在C点，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求轨道的支持力．
    （2）物块从C滑上滑板后开始做匀减速运动，此时滑板开始做匀加速直线运动，当物块与滑板达共同速度v2时，二者开始做匀速运动，由动量守恒定律求得共同速度，分别对物块和滑板运用动能定理求得各自的位移，得到二者的相对位移，分：R＜L＜2R和2R≤L＜5R两个范围，求克服摩擦力做的功Wf与L的关系，并判断物块能否滑到DE轨道的中点．

    解答 解：（1）设物块滑到C点的速度为v1．
    从B到C，由动能定理得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    结合v0=2$\sqrt{2gR}$，h=$\frac{R}{2}$，解得 v1=3$\sqrt{gR}$
    在C点，根据牛顿第二定律得
        FN-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
    解得 FN=10mg
    （2）物块从C滑上滑板后开始做匀减速运动，此时滑板开始做匀加速直线运动，当物块与滑板达共同速度v2时，二者开始做匀速运动，取向左为正方向，由动量守恒定律得 mv1=（m+M）v2．
    解得 v2=$\sqrt{gR}$
    对物块，根据动能定理有-μmgl1=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
    对滑板，根据动能定理有 μmgl2=$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
    解得  l1=8R，l2=2R
    物块相对滑板的位移△l=l1-l2=6R＜l
    即物块与滑板在达到共同速度时，物块未离开滑板．
    讨论：
    ①当R＜L＜2R，物块在滑板上一直匀减速运动至D，运动的位移为 6.5R+L，克服摩擦力做的功
         Wf=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L）
    设滑物块上D点的速度为vD．根据动能定理有-μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
    解得  $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}$mg（2.5R-L）＜mgR
    所以物块不可能滑到DE轨道的中点．
    ②当2R≤L＜5R，物块先匀减速运动8R，然后匀速运动L-2R，再匀减速运动0.5R，克服摩擦力做功为
        Wf=μmg（8R+0.5R）=$\frac{17}{4}$mgR
    设滑上D点的速度为vD′，根据动能定理有-μmg（8R+0.5R）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
    解得 $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$=$\frac{1}{4}$mgR＜mgR
    所以物块不可能滑到DE轨道的中点．
    答：
    （1）物块滑到C点时所受圆弧轨道的支持力的大小是10mg；
    （2）物块从滑上滑板到离开左端的过程中，当R＜L＜2R时，克服摩擦力做的功Wf与L的关系为：Wf=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），物块不可能滑到DE轨道的中点．
    当2R≤L＜5R时，Wf=$\frac{17}{4}$mgR，物块不可能滑到DE轨道的中点．

    点评 本题是复杂的力学综合题搞清物块和滑板的运动过程是解答的关系，当物块在滑板上滑行时，要注意分析能否达到共同速度．

    练习册系列答案
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    A．只能说明水平方向的分运动是匀速直线运动
    B．只能说明竖直方向的分运动是自由落体运动
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    D．能同时说明A、B选项中的两条规律

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    （1）要使小木块能通过圆弧最高点，它在E点速度至少是多大？
    （2）要使小木块能通过圆弧最高点，它在圆弧轨道的最低点D对地面的压力至少是多大？
    （3）假定斜面高度h不变，改变斜面倾角θ，同时小木板质量m、动摩擦因数μ和圆弧半径r不变，要使小木块恰好能通过圆弧最高点，且通过圆弧最高点后刚好落在C点，求斜面倾角的正切值．

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