Question

如图所示，滑块A的质量m＝0.01 kg，与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2，用细线悬挂的小球质量均为m＝0.01 kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s＝2 m，线长分别为L₁、L₂、L₃…(图中只画出三只小球，且小球可视为质点)，开始时，滑块以速度v₀＝10 m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，重力加速度g＝10 m/s²。

试求：

(1)滑块能与几个小球碰撞?

(2)碰撞中第n个小球悬线长L_n的表达式。

(3)滑块与第一个小球碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力。

Answer 1

(1)12个  (2)L_n＝2-(m)  (3)0.6 N

解析:

(1)因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内做圆周运动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s₀，有

－μmgs₀＝0－

得s₀＝25 m

n＝＝12.5，根据题意取12个

(2)滑块与第n个小球碰撞，设小球运动到最高点时速度为v_n′

对小球，有mg＝m                         ①

机械能守恒：mv＝mv′＋2mgL_n           ②

对滑块，有－μmgns＝－          ③

联立①②③三式得L_n＝＝2－(m)

(3)设滑块做匀减速运动到第一个小球处与第一个小球碰前的速度为v₁，则有－μmgs＝mv²₁－

由于滑块与小球碰撞时不损失机械能，则碰撞前后动量守恒、动能相等，滑块与小球相碰撞后互换速度，碰撞后瞬间小球的速度为v₁。

此时小球受重力和绳子的拉力作用，由牛顿第二定律得

T－mg＝  因为L₁＝(m)

由上述三式解得T＝0.6 N。